Esercizio su forma bilineare simmetrica.

[Yuyu_13]

Buongiorno, sto risolvendo il seguente esercizio, dato uno spazio vettoriale $V$ tale che $dim(V)=3$ e sia $R={v_1,v_2,v_3}$ una sua base. Considero $g$ forma bilineare simmetrica con matrice

$ G=( ( -3 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $

rispetto $R$.

Voglio determinare: verificare che $g$ è non degenere, base $g$ ortogonale, segnatura di $g$, e la forma canonica associata a $g$.

Per verificare che $g$ è non degenere riduco la matrice $G$ a scala e ne determino il rango.
Dunque,

$ G=( ( -3 , 1 , 0 ),( 1 , 2 , -1 ),( 0 , -1 , -1 ) ) $ $to$ $ G=( ( -3 , 1 , 0 ),( 0, 7 , -3 ),( 0 , 0 , -10 ) ) $

la ridotta ha tre righe non nulle, dunque il suo rango è $3$ cioè è pari alla dimensione di $V$, per cui $g$ è non degenere.

Per determinare una base $g$ ortogonale di $V$ applico il teorema di Lagrange.
Dunque, come primo vettore della base ortogonale posso scegliere ad esempio $v_1$, quindi posto $w_1=v_1$ , inoltre $g(w_1,w_1)=-3$ .

Come secondo vettore procedo

$w_2=v_2-g(v_2, w_1)/g(w_1,w_1)w_1=v_2+1/3v_1$

inoltre, $g(w_2, w_2)=7/3$

Come terzo vettore procedo

$w_3=v_3-g(v_3, w_2)/g(w_2,w_2)w_2=v_3+3/7v_2+1/7v_1$

inoltre, $g(w_3, w_3)=-10/7$

Per determinare la segnatura della forma canonica associata a $g$, abbiamo la matrice di $g$ rispetto alla base ortogonale che è

$ G=( ( -3 , 0 , 0 ),( 0 , 7/3 , 0 ),( 0 , 0 , -10/7 ) ) $

Posso riordinare la base ortogonale in modo tale da ottenere la seguente matrice

$ G=( ( 7/3 , 0 , 0 ),( 0 , -3 , 0 ),( 0 , 0 , -10/7 ) ) $

Dunque, l'indice di positività $p=1$ e quindi segnatura $(1,3-1)=(1,2)$, inoltre la forma è indefinita.

Per determinare la forma canonica, considero $v in V$ e sia $(x,y,z)$ il suo vettore delle coordinate rispetto alla base canonica di $mathbb{RR^3}$.
Considero il sistema

$ S:{ ( x_1+x_2/3+x_3/7=x ),( x_2+3/7x_3=y ),( x_3=z ):} $

Risolvendo per sostituzione all'indietro, si ha il vettore delle coordinate rispetto alla base ortogonale, e cioè

$(x-y, y-3/7z,z)$

Dunque, la forma canonica associata è data da

$q:V to mathbb{R}, q(v)=(x-y)^2-(y-3/7z)^2-z^2$

di cui facendo i conti, si ha

$q(v)=x^2-10/49z^2+2xy+6/7yz$.

Sono un po' dubbioso sull'ultima parte, cioè quella in cui devo determinare la forma canonica.
Tralasciando gli eventuali errori di calcolo, il modo di procedere è corretto?

Ciao

[j18eos]

...e chi sarebbe \(\underline{v}_1\)?

[Yuyu_13]

Sono vettori della base di $V$.
L'esercizio l'ho trovato sull'eserciziario di Francesco Bottacin.

[j18eos]

Ah, sì: scusami!

Hai trovato una base ortogonale, e mi trovo con tutto il resto.

Poi non capisco il sistema \(S\).

[Yuyu_13]

Questo è il mio problema Vorrei determinare una la forma quadratica associata a $g$.

Dal teorema di Sylvester e tenendo conto della segnatura, la forma dovrebbe essere del tipo

$q(v)=x_1^2+x_2^2+...+x_p^2-x_(p+1)^2-...-x_r^2$

dove $v in V$ e $(x_i)_(i=1,...,r)$ sono le coordinate di $v$ nel riferimento ortogonale.

[Bokonon]

Non ho fatto i conti ma mi pare tutto ok.
Per la forma canonica direi che devi solo fare $x^tGx$ con $x^t=(x_1,x_2,x_3)$ e $G$ è la matrice diagonale

[Yuyu_13]

Grazie