Esercizio su fascio di coniche
salve a tutti.
trovo difficolà nell'affronatre gli esercizi sulle coniche..
mi aiutate?
si determini l'equazione del fascio di coniche individuato da una conica : $x^2+y^2-8x-8y=0$ e da una parabola tangente in$ A=(-3,1)$ alla circonferenza di raggio 1 e centro $(-3,2)$ avente come polare la retta $3x-3y-4=0$ del punto $(2,1,0)$
ho calcolato l'eq. della circonferenza ed è : $x^2+y^2+6x-4y+12=0$
ora dovrei trovare la parabola che soddisfi le condizioni richieste.
e poi mi posso scrivere il fascio come combinazione lineare delle due coniche(come dice la traccia)
trovo difficolà nell'affronatre gli esercizi sulle coniche..
mi aiutate?
si determini l'equazione del fascio di coniche individuato da una conica : $x^2+y^2-8x-8y=0$ e da una parabola tangente in$ A=(-3,1)$ alla circonferenza di raggio 1 e centro $(-3,2)$ avente come polare la retta $3x-3y-4=0$ del punto $(2,1,0)$
ho calcolato l'eq. della circonferenza ed è : $x^2+y^2+6x-4y+12=0$
ora dovrei trovare la parabola che soddisfi le condizioni richieste.
e poi mi posso scrivere il fascio come combinazione lineare delle due coniche(come dice la traccia)
Risposte
Non faccio questi esercizi da tempo ma quella polare non mi torna. Sicura che sia giusta?
Poiché il punto improprio della parabola è il suo centro (in questo caso $(2,1,0)$). Pertanto la sua polare è la retta impropria $z=0$, mentre nella tua traccia è $3x-3y-4=0$.
Poiché il punto improprio della parabola è il suo centro (in questo caso $(2,1,0)$). Pertanto la sua polare è la retta impropria $z=0$, mentre nella tua traccia è $3x-3y-4=0$.
Per quello che ho capito io, il punto \(\displaystyle (2,1,0) \) non è un punto della parabola. In conseguenza avrei elaborato la soluzione seguente.
La tangente alla circonferenza in \(\displaystyle A(-3,1) \) ha equazione \(\displaystyle y-1=0 \) e coincide per ipotesi con la tangente nel medesimo punto alla parabola cercata. Per note proprietà della polarità rispetto ad una conica, la polare del punto \(\displaystyle (2,1,0) \) [che è improprio ] deve contenere il polo della retta impropria ovvero il centro della parabola. Pertanto detto centro è il punto improprio della polare data \(\displaystyle 3x-3y-4=0 \) ed è dunque il punto \(\displaystyle C(1,1,0) \)
Ora abbiamo i punti base del fascio di parabole ed essi sono i punti A e C contati ciascuno due volte .
Ne segue che formalmente l'equazione del fascio di parabole è del tipo:
\(\displaystyle \lambda(AA)\cdot(CC)+\mu(AC)\cdot(AC)=0 \)
dove \(\displaystyle AA,CC,AC \) sono, in coordinate proiettive, rispettivamente : \(\displaystyle y-t,t,x-y-4t \)
Sostituendo si ha l'equazione del fascio di parabole :
(1) \(\displaystyle \lambda t(y-t)+\mu (x-y+4t)^2=0 \)
Adesso per eliminare i parametri \(\displaystyle \lambda,\mu \) occorre imporre la condizione che la polare di \(\displaystyle (2,1,0) \) coincida con quella data che è \(\displaystyle 3x-3y-4t=0 \). Facendo i dovuti conti, la polare in questione è :
\(\displaystyle 2\mu x- 2\mu y +(\lambda+8\mu)t=0 \)
e quindi, dovendo identificarsi con la polare data, deve aversi :
\(\displaystyle \frac{2\mu}{3}=\frac{\lambda+8\mu}{-4} \)
da cui :
\(\displaystyle 3\lambda+32\mu=0 \)
Scegliendo \(\displaystyle \lambda=-32,\mu=3 \) e sostituendo nella (1), si ha l'equazione della parabola cercata ( in coordinate affini ):
\(\displaystyle 3(x-y+4)^2-32(y-1)=0 \)
di cui è stato fatto un grafico più avanti.
Pertanto l'equazione del fascio richiesto è :
\(\displaystyle \alpha[x^2+y^2-8x-8y]+\beta[3(x-y+4)^2-32(y-1)]=0 \)
La tangente alla circonferenza in \(\displaystyle A(-3,1) \) ha equazione \(\displaystyle y-1=0 \) e coincide per ipotesi con la tangente nel medesimo punto alla parabola cercata. Per note proprietà della polarità rispetto ad una conica, la polare del punto \(\displaystyle (2,1,0) \) [che è improprio ] deve contenere il polo della retta impropria ovvero il centro della parabola. Pertanto detto centro è il punto improprio della polare data \(\displaystyle 3x-3y-4=0 \) ed è dunque il punto \(\displaystyle C(1,1,0) \)
Ora abbiamo i punti base del fascio di parabole ed essi sono i punti A e C contati ciascuno due volte .
Ne segue che formalmente l'equazione del fascio di parabole è del tipo:
\(\displaystyle \lambda(AA)\cdot(CC)+\mu(AC)\cdot(AC)=0 \)
dove \(\displaystyle AA,CC,AC \) sono, in coordinate proiettive, rispettivamente : \(\displaystyle y-t,t,x-y-4t \)
Sostituendo si ha l'equazione del fascio di parabole :
(1) \(\displaystyle \lambda t(y-t)+\mu (x-y+4t)^2=0 \)
Adesso per eliminare i parametri \(\displaystyle \lambda,\mu \) occorre imporre la condizione che la polare di \(\displaystyle (2,1,0) \) coincida con quella data che è \(\displaystyle 3x-3y-4t=0 \). Facendo i dovuti conti, la polare in questione è :
\(\displaystyle 2\mu x- 2\mu y +(\lambda+8\mu)t=0 \)
e quindi, dovendo identificarsi con la polare data, deve aversi :
\(\displaystyle \frac{2\mu}{3}=\frac{\lambda+8\mu}{-4} \)
da cui :
\(\displaystyle 3\lambda+32\mu=0 \)
Scegliendo \(\displaystyle \lambda=-32,\mu=3 \) e sostituendo nella (1), si ha l'equazione della parabola cercata ( in coordinate affini ):
\(\displaystyle 3(x-y+4)^2-32(y-1)=0 \)
di cui è stato fatto un grafico più avanti.
Pertanto l'equazione del fascio richiesto è :
\(\displaystyle \alpha[x^2+y^2-8x-8y]+\beta[3(x-y+4)^2-32(y-1)]=0 \)
Certo. Non avevo capito che il punto non appartenesse alla parabola.
grazie mille!!!
chiarissimo!!!
non so impostare questi problemi perchè non so fare tutti quei ragionameti che hai fatto tu
(La tangente alla circonferenza in A(−3,1) ha equazione y−1=0 e coincide per ipotesi con la tangente nel medesimo punto alla parabola cercata. Per note proprietà della polarità rispetto ad una conica, la polare del punto (2,1,0) [che è improprio ] deve contenere il polo della retta impropria ovvero il centro della parabola. Pertanto detto centro è il punto improprio della polare data 3x−3y−4=0 ed è dunque il punto C(1,1,0)
Ora abbiamo i punti base del fascio di parabole ed essi sono i punti A e C contati ciascuno due volte .)
e per trovare le coniche degeneri del fascio e le coordinate dei suoi punti base?come si ragiona..?
chiarissimo!!!
non so impostare questi problemi perchè non so fare tutti quei ragionameti che hai fatto tu
(La tangente alla circonferenza in A(−3,1) ha equazione y−1=0 e coincide per ipotesi con la tangente nel medesimo punto alla parabola cercata. Per note proprietà della polarità rispetto ad una conica, la polare del punto (2,1,0) [che è improprio ] deve contenere il polo della retta impropria ovvero il centro della parabola. Pertanto detto centro è il punto improprio della polare data 3x−3y−4=0 ed è dunque il punto C(1,1,0)
Ora abbiamo i punti base del fascio di parabole ed essi sono i punti A e C contati ciascuno due volte .)
e per trovare le coniche degeneri del fascio e le coordinate dei suoi punti base?come si ragiona..?
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