Esercizio su endomorfismo f=AX-XA
ragazzi sono in crisi su questo esercizio:
Sia $ K $ un campo di caratteristica diversa da $ 2 $ e sia $ A $ la matrice:
$ ((7, -1, -2), (-6, 0, 2), (24, -3, -7)) $
Si consideri l'endomorfismo $ f $ sull'insieme delle matrici $ 3*3 $ t.c $ f(X)= AX - XA $.
Determinare autovalori e dimensioni degli autospazi di questo endomorfismo e dire se è diagonalizzabile.
La mia idea era quella di trovare la matrice associata a questo endomorfismo secondo la base canonica, ma mi verrebbe una matrice $ 9*9 $, che non può essere moltiplicata per una matrice $ 3*3 $.
Dov'è che sbaglio?
Grazie dell'aiuto!
Sia $ K $ un campo di caratteristica diversa da $ 2 $ e sia $ A $ la matrice:
$ ((7, -1, -2), (-6, 0, 2), (24, -3, -7)) $
Si consideri l'endomorfismo $ f $ sull'insieme delle matrici $ 3*3 $ t.c $ f(X)= AX - XA $.
Determinare autovalori e dimensioni degli autospazi di questo endomorfismo e dire se è diagonalizzabile.
La mia idea era quella di trovare la matrice associata a questo endomorfismo secondo la base canonica, ma mi verrebbe una matrice $ 9*9 $, che non può essere moltiplicata per una matrice $ 3*3 $.
Dov'è che sbaglio?
Grazie dell'aiuto!
Risposte
Ciao.
Secondo me il testo è da intendersi così: chiama $M_(3,3)(K)$ l'insieme delle matrici quadrate [tex]3 \times 3[/tex] a entrate in $K$ e considera l'endomorfismo $f: M_(3,3)(K) to M_(3,3)(K)$ che lavora così: [tex]M_{3,3}(K) \ni X \mapsto AX-XA[/tex].
I prodotti matriciali mi sembrano sistemati; ti torna tutto?
Per quanto riguarda il problema in sè, certo, la strada cui uno pensa subito è trovare la matrice associata rispetto ad una qualche base; solo che come osservi tale matrice è $9 times 9$ (perchè lo spazio delle matrici $3 times 3$ - come sicuramente sai - ha dimensione 9) e quindi è un casino mettersi a fare i conti.
Forse (ma non so, non ho il tempo di sistemare i dettagli), bisogna pensare a una strada alternativa, che tenga conto di osservazioni di carattere pratico: ad esempio, hai già cercato il nucleo? Riesci ad occhio a beccare qualche autovettore?
Prova e poi facci sapere.
Secondo me il testo è da intendersi così: chiama $M_(3,3)(K)$ l'insieme delle matrici quadrate [tex]3 \times 3[/tex] a entrate in $K$ e considera l'endomorfismo $f: M_(3,3)(K) to M_(3,3)(K)$ che lavora così: [tex]M_{3,3}(K) \ni X \mapsto AX-XA[/tex].
I prodotti matriciali mi sembrano sistemati; ti torna tutto?
Per quanto riguarda il problema in sè, certo, la strada cui uno pensa subito è trovare la matrice associata rispetto ad una qualche base; solo che come osservi tale matrice è $9 times 9$ (perchè lo spazio delle matrici $3 times 3$ - come sicuramente sai - ha dimensione 9) e quindi è un casino mettersi a fare i conti.
Forse (ma non so, non ho il tempo di sistemare i dettagli), bisogna pensare a una strada alternativa, che tenga conto di osservazioni di carattere pratico: ad esempio, hai già cercato il nucleo? Riesci ad occhio a beccare qualche autovettore?
Prova e poi facci sapere.
Sbagli nel fatto che volendo utilizzare la rappresentazione rispetto alla base canonica dello spazio delle matrici 3x3, allora devi pensare alle matrici 3x3 come a vettori colonna di dimensione 9.
Ma... quanti conti dovresti fare? Secondo me c'è un modo più facile... ci penso su!
edit: scrivevo (le stesse cose) insieme a Paolo90!
Ma... quanti conti dovresti fare? Secondo me c'è un modo più facile... ci penso su!
edit: scrivevo (le stesse cose) insieme a Paolo90!
si infatti ci sono un sacco di conti da fare, credo anch'io che ci sia un modo più semplice.. Come strada alternativa avevo provato questa:
Se questo endomorfismo è diagonalizzabile allora si avrà che $ f(X)=cX $ e quindi $ AX- XA=cX $
Dunque $ (A-c)X -XA=0 $.. Non so se è una buona strada da seguire comunque intanto provo a ragionarci un po' su..
Per ora grazie ad entrambi!
Se questo endomorfismo è diagonalizzabile allora si avrà che $ f(X)=cX $ e quindi $ AX- XA=cX $
Dunque $ (A-c)X -XA=0 $.. Non so se è una buona strada da seguire comunque intanto provo a ragionarci un po' su..
Per ora grazie ad entrambi!
Sì, ma ti fermo subito perché hai enunciato una caratterizzazione della diagonalizzabilità sbagliata. Le matrici diagonali non sono mica tutte multiple dell'identità!!!!
scusami ma non ho capito cosa intendi
Beh,
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right)[/tex]
è diagonale (e quindi diagonalizzabile) ma non esiste nessun [tex]c[/tex] tale che
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right) = c \left( \begin{matrix}x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right)[/tex]
per ogni vettore colonna [tex]{}^t \left( \begin{matrix} x_1 & x_2 \end{matrix} \right)[/tex].
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right)[/tex]
è diagonale (e quindi diagonalizzabile) ma non esiste nessun [tex]c[/tex] tale che
[tex]\left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right) = c \left( \begin{matrix}x_1 \\ x_2 \end{matrix} \right)[/tex]
per ogni vettore colonna [tex]{}^t \left( \begin{matrix} x_1 & x_2 \end{matrix} \right)[/tex].
ah ok ho capito! ma allora come dovrei scriverla?
G.G, quella che hai scritto è la giusta equazione agli autovalori, sempre che con $c$ tu intendessi l'autovalore incognito.
forse bisogna tenere conto di $A$. Si vede facilmente che $A$ è diagonalizzabile ed ha autovalori $0,1,-1$.
Adesso per studiare il nucleo dell'applicazione in questione bisogna tenere conto che se $X$ è nel nucleo allora $AX=XA$.
quindi ad esempio se $v$ è autovettore di $A$ allora
$AXv=XAv=\lambda Xv$ quindi $Xv$ è autovettore di $A$ per autovalore $\lambda$.
quindi se $X$ sta nel nucleo deve avere almeno gli autovalori di $A$...
Adesso per studiare il nucleo dell'applicazione in questione bisogna tenere conto che se $X$ è nel nucleo allora $AX=XA$.
quindi ad esempio se $v$ è autovettore di $A$ allora
$AXv=XAv=\lambda Xv$ quindi $Xv$ è autovettore di $A$ per autovalore $\lambda$.
quindi se $X$ sta nel nucleo deve avere almeno gli autovalori di $A$...
@speculor: sì intendevo l'autovalore incognito, forse avrei dovuto essere più chiara e specificarlo.
@miuemia: anch'io ho pensato che bisogna tenere conto di $A$ e ho tentato questa strada:
Siccome gli autovalori di $A$ sono $0,1,-1$, $ A $ è simile alla matrice $ B=((0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1)) $
Quindi possiamo dire che $EE$ $ C $ invertibile t.c $A=CBC^(-1)$
Consideriamo $f(X)=AX-XA=CBC^(-1)X-XCBC^(-1)=C(BX-XB)C^(-1)
Poniamo $ X=((x_11,x_12,x_13), (x_21, x_22, x_23), (x_31, x_32, x_33)) $. Allora facendo i calcoli otteniamo che:
$ BX-XB= ((0, -x_12, x_13), (x_21,0,2x_23), (-x_31, -2x_32, 0)) $
Se l'endomorfismo è diagonalizzabile otteniamo che:
$ C((0, -x_12, x_13), (x_21,0,2x_23), (-x_31, -2x_32, 0))C^(-1)=\lambdaX $
Quindi $ \lambdaX $ deve essere simile a $((0, -x_12, x_13), (x_21,0,2x_23), (-x_31, -2x_32, 0))$
Ma non riesco ad andare avanti..
@miuemia: anch'io ho pensato che bisogna tenere conto di $A$ e ho tentato questa strada:
Siccome gli autovalori di $A$ sono $0,1,-1$, $ A $ è simile alla matrice $ B=((0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, -1)) $
Quindi possiamo dire che $EE$ $ C $ invertibile t.c $A=CBC^(-1)$
Consideriamo $f(X)=AX-XA=CBC^(-1)X-XCBC^(-1)=C(BX-XB)C^(-1)
Poniamo $ X=((x_11,x_12,x_13), (x_21, x_22, x_23), (x_31, x_32, x_33)) $. Allora facendo i calcoli otteniamo che:
$ BX-XB= ((0, -x_12, x_13), (x_21,0,2x_23), (-x_31, -2x_32, 0)) $
Se l'endomorfismo è diagonalizzabile otteniamo che:
$ C((0, -x_12, x_13), (x_21,0,2x_23), (-x_31, -2x_32, 0))C^(-1)=\lambdaX $
Quindi $ \lambdaX $ deve essere simile a $((0, -x_12, x_13), (x_21,0,2x_23), (-x_31, -2x_32, 0))$
Ma non riesco ad andare avanti..
Bisognerebbe capire quale ruolo possa avere l'ipotesi di campo con caratteristica diversa da due.
"speculor":
Bisognerebbe capire quale ruolo possa avere l'ipotesi di campo con caratteristica diversa da due.
Probabilmente (ma sono a letto con l'influenza
, quindi la mia affermazione è da controllare) serve a garantire che A sia diagonalizzabile. Infatti, in un campo con caratteristica 2, $1=-1$ e quindi $A$ non avrebbe più gli autovalori $0,1,-1$ (ognuno con molteplicità 1) ma avrebbe l'autovalore 0 con molteplicità 1 e $1$ con molteplicità algebrica 2.
Che dite?
"Paolo90":
[quote="speculor"]Bisognerebbe capire quale ruolo possa avere l'ipotesi di campo con caratteristica diversa da due.
Probabilmente (ma sono a letto con l'influenza
, quindi la mia affermazione è da controllare) serve a garantire che A sia diagonalizzabile. Infatti, in un campo con caratteristica 2, $1=-1$ e quindi $A$ non avrebbe più gli autovalori $0,1,-1$ (ognuno con molteplicità 1) ma avrebbe l'autovalore 0 con molteplicità 1 e $1$ con molteplicità algebrica 2.
Che dite?
[/quote]Sono d'accordo.
Forse ci sono: la matrice associata all'endomorfismo $f$ è simile alla matrice associata all'endomorfismo $f'=BX-XB$. quindi se la matrice associata all'endomorfismo $f'$ è diagonalizzabile lo è anche quella associata all'endomorfismo $f$ e gli autovalori sono gli stessi.
Andando a calcolare la matrice associata a $f'$ (i calcoli questa volta sono molto più semplici perchè $B$ è diagonale) si ottiene una matrice $9*9$ diagonale (e quindi diagonalizzabile).
Il polinomio caratteristico mi viene $p(x)=x^(4)(1-x)^(2)(1+x)^(2)(2+x)$ e quindi gli autovalori dovrebbero essere $0, 1, -1, -2$
Secondo voi va bene?
Andando a calcolare la matrice associata a $f'$ (i calcoli questa volta sono molto più semplici perchè $B$ è diagonale) si ottiene una matrice $9*9$ diagonale (e quindi diagonalizzabile).
Il polinomio caratteristico mi viene $p(x)=x^(4)(1-x)^(2)(1+x)^(2)(2+x)$ e quindi gli autovalori dovrebbero essere $0, 1, -1, -2$
Secondo voi va bene?
non ho ben capito quest'uguaglianza:
$CBC^{-1}X-XCBC^{-1}=C(BX-XB)C^{-1}$
$CBC^{-1}X-XCBC^{-1}=C(BX-XB)C^{-1}$
che errore stupido! hai ragione è sbagliata! 
Poiché A è diagonalizzabile, esiste C non singolare tale che $ A = C * D * C^-1 $ , dove $ D = ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ . Notiamo che $ AX - XA = CDC^-1 * X - X * CDC^-1 = $ [ponendo $ Y = C^-1XC $ ] $ CDC^-1 * CYC^-1 - CYC^-1 * CDC^-1 = CDYC^-1 - CYDC^-1 = C(DY - YD)C^-1 $.
Perciò dato y autovalore di f, questo sarà anche autovalore dell'endomorfismo g:M3(K) -> M3(K) X |--> DX - XD , infatti
$ AX - XA = yX => $ [ponendo $ Y = C^-1XC $ ] $ => DY - YD = C^-1AC * C^-1XC - C^-1XC * C^-1AC = C^-1AXC - C^-1XAC = C^-1(yX)C = yY $
Questo ci dice che f e g hanno gli stessi autovalori e le stesse molteplicità geometriche, in quanto se X1 , ... , Xk sono autovettori per f relativi ad un autovalore y indipendenti, allora C^-1X1C , ... , C^-1XkC sono autovettori per g relativi a y e saranno anch'essi indipendenti (questo è facile da mostrare...)...poiché allo stesso modo possiamo mostrare che n autovettori indipendenti di g danno altrettanti n autovettori indipendenti di f, possiamo concludere che le molteplicità geometriche di f e g sono le stesse.
$ DY - YD = ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) * Y - Y * ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) = ( ( 0 , -2 * y12 , -y13 ),( 2 * y21 , 0 , y23 ),( y31 , -y32 , 0 ) ) = y ( ( y11 , y12 , y13 ),( y21 , y22 , y23 ),( y31 , y32 , y33 ) ) $
Studiamo la relazione
$ ( ( 0 , -2 * y12 , -y13 ),( 2 * y21 , 0 , y23 ),( y31 , -y32 , 0 ) ) = y ( ( y11 , y12 , y13 ),( y21 , y22 , y23 ),( y31 , y32 , y33 ) ) $
Notiamo che se
(y = 0) e11, e22, e33 sono soluzioni e sono ind.
(y = 1) e23, e31 sono soluzioni e sono ind.
(y = -1) e32, e13 sono soluzioni e sono ind.
(y = 2) e21 è soluzione
(y = -2) e12 è soluzione
Quindi f e g hanno autovalori -2, 1, 0, 1, 2 di molteplicità geometrica (rispettivamente) 1, 2, 3, 2, 1, quindi sono diagonalizzabili. Se vuoi anche trovare gli autovettori basta trovare la matrice C che diagonalizza A nella matrice diagonale D scritta sopra e trasformare le matrici eij in CeijC^-1.
Fatemi sapere se ci sono errori!
Perciò dato y autovalore di f, questo sarà anche autovalore dell'endomorfismo g:M3(K) -> M3(K) X |--> DX - XD , infatti
$ AX - XA = yX => $ [ponendo $ Y = C^-1XC $ ] $ => DY - YD = C^-1AC * C^-1XC - C^-1XC * C^-1AC = C^-1AXC - C^-1XAC = C^-1(yX)C = yY $
Questo ci dice che f e g hanno gli stessi autovalori e le stesse molteplicità geometriche, in quanto se X1 , ... , Xk sono autovettori per f relativi ad un autovalore y indipendenti, allora C^-1X1C , ... , C^-1XkC sono autovettori per g relativi a y e saranno anch'essi indipendenti (questo è facile da mostrare...)...poiché allo stesso modo possiamo mostrare che n autovettori indipendenti di g danno altrettanti n autovettori indipendenti di f, possiamo concludere che le molteplicità geometriche di f e g sono le stesse.
$ DY - YD = ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) * Y - Y * ( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) = ( ( 0 , -2 * y12 , -y13 ),( 2 * y21 , 0 , y23 ),( y31 , -y32 , 0 ) ) = y ( ( y11 , y12 , y13 ),( y21 , y22 , y23 ),( y31 , y32 , y33 ) ) $
Studiamo la relazione
$ ( ( 0 , -2 * y12 , -y13 ),( 2 * y21 , 0 , y23 ),( y31 , -y32 , 0 ) ) = y ( ( y11 , y12 , y13 ),( y21 , y22 , y23 ),( y31 , y32 , y33 ) ) $
Notiamo che se
(y = 0) e11, e22, e33 sono soluzioni e sono ind.
(y = 1) e23, e31 sono soluzioni e sono ind.
(y = -1) e32, e13 sono soluzioni e sono ind.
(y = 2) e21 è soluzione
(y = -2) e12 è soluzione
Quindi f e g hanno autovalori -2, 1, 0, 1, 2 di molteplicità geometrica (rispettivamente) 1, 2, 3, 2, 1, quindi sono diagonalizzabili. Se vuoi anche trovare gli autovettori basta trovare la matrice C che diagonalizza A nella matrice diagonale D scritta sopra e trasformare le matrici eij in CeijC^-1.
Fatemi sapere se ci sono errori!
Prima di tutto ti faccio i miei complimenti. 
Anche se non ho analizzato la tua dimostrazione nei minimi dettagli, mi è sembrata corretta.
Anche se non ho analizzato la tua dimostrazione nei minimi dettagli, mi è sembrata corretta.
speculor, ti ringrazio tantissimo! ...comunque è stato un bel lavoro di squadra!
P.S: Maxima conferma che le matrici CeijC^-1 sono autovettori
P.S: Maxima conferma che le matrici CeijC^-1 sono autovettori
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