Esercizio su endomorfismo
Salve a tutti!
Ho un esercizio da proporvi, perchè ho alcuni dubbi sul suo svolgimento:
Sia $V$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(1,0,1,1)$, $v_2=(0,1,1,0)$, $v_3=(0,0,-1,0)$ e si consideri l'applicazione lineare $f:V rarr RR^4$ tale che:
$f(v_1)=(lambda-1,0,2,lambda-1)$
$f(v_2)=(lambda-2,2,2,0)$
$f(v_3)=(0,2-lambda,2,2(lambda-2))$
a) verificare che $f$ è iniettiva per ogni $lambda in RR$.
b) determinare $lambda$ in modo che $Imf sub V$
c) rispetto ai valori di $lambda$ trovati nel punto b), determinare una base di autovettori dell'endomorfismo $\bar f:V rarr V$ tale che $\bar f(v)=f(v)$, per ogni $v in V$.
allora, per il punto a) io so che un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il $Kerf={\bar 0}$.
per determinare la dimensione del nucleo di $f$, so che c'è la formula: $dimV=dimImf+dimKerf$, quindi $dimKerf=dimV-dimImf$. conosco la dimensione dello spazio V che è 4, però come posso determinare la dimensione dell'immagine di f, se dispongo di 3 soli vettori?
la dimensione dell'immagine volevo trovarla verificando il determinante di questa matrice:
$|(lambda-1,0,2,lambda-1),(lambda-2,2,2,0),(0,2-lambda,2,2(lambda-2))|$
che dovrebbe essere diverso da 0, ma siccome è rettangolare potrebbe al massimo avere caratteristica=3, il che però mi porta ad una dimensione dell'immagine di f=3, e quindi una dimensione del $Kerf$ almeno unguale ad 1, e a me serve verificare che sia per ogni $lambda$ $Kerf={\bar 0}$.
come dovrei fare per questo punto?
per il punto b) invece dovrei trovare un $lambda$ tale che $V=$, giusto?
Ho un esercizio da proporvi, perchè ho alcuni dubbi sul suo svolgimento:
Sia $V$ il sottospazio di $RR^4$ generato dai vettori $v_1=(1,0,1,1)$, $v_2=(0,1,1,0)$, $v_3=(0,0,-1,0)$ e si consideri l'applicazione lineare $f:V rarr RR^4$ tale che:
$f(v_1)=(lambda-1,0,2,lambda-1)$
$f(v_2)=(lambda-2,2,2,0)$
$f(v_3)=(0,2-lambda,2,2(lambda-2))$
a) verificare che $f$ è iniettiva per ogni $lambda in RR$.
b) determinare $lambda$ in modo che $Imf sub V$
c) rispetto ai valori di $lambda$ trovati nel punto b), determinare una base di autovettori dell'endomorfismo $\bar f:V rarr V$ tale che $\bar f(v)=f(v)$, per ogni $v in V$.
allora, per il punto a) io so che un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il $Kerf={\bar 0}$.
per determinare la dimensione del nucleo di $f$, so che c'è la formula: $dimV=dimImf+dimKerf$, quindi $dimKerf=dimV-dimImf$. conosco la dimensione dello spazio V che è 4, però come posso determinare la dimensione dell'immagine di f, se dispongo di 3 soli vettori?
la dimensione dell'immagine volevo trovarla verificando il determinante di questa matrice:
$|(lambda-1,0,2,lambda-1),(lambda-2,2,2,0),(0,2-lambda,2,2(lambda-2))|$
che dovrebbe essere diverso da 0, ma siccome è rettangolare potrebbe al massimo avere caratteristica=3, il che però mi porta ad una dimensione dell'immagine di f=3, e quindi una dimensione del $Kerf$ almeno unguale ad 1, e a me serve verificare che sia per ogni $lambda$ $Kerf={\bar 0}$.
come dovrei fare per questo punto?
per il punto b) invece dovrei trovare un $lambda$ tale che $V=
Risposte
La dimensione di $V$ è 3, non 4.
Inoltre sai che il rango della matrice associata ad $f$ rispetto ad una qualsiasi base è uguale alla dimensione dell'immagine di $f$. Vogliamo provare che $dimImf=3$ pertanto ti basterà provare che per ogni $lambda$ reale il rango è $3$.
Inoltre sai che il rango della matrice associata ad $f$ rispetto ad una qualsiasi base è uguale alla dimensione dell'immagine di $f$. Vogliamo provare che $dimImf=3$ pertanto ti basterà provare che per ogni $lambda$ reale il rango è $3$.
grazie mistake, ora ho capito, mi ero confuso con la dimensione dei vettori e la dimensione dello spazio 
ora però mi sorge un'altro dubbio:
la matrice che ho scritto sopra è la matrice che rappresenta l'immagine di $f$, e utilizzando la nomenclatura sarebbe $M(f)_(BC)$ giusto?
ma non la rappresenta rispetto alla base canonica, bensì rispetto ai vettori $v_1, v_2, v_3$, è così?
mi scuso se le mie domande possono sembrare un pò monotone o stupide ma ogni piccolo dubbio contribuisce a farmi un gran caos in testa
ora però mi sorge un'altro dubbio:
la matrice che ho scritto sopra è la matrice che rappresenta l'immagine di $f$, e utilizzando la nomenclatura sarebbe $M(f)_(BC)$ giusto?
ma non la rappresenta rispetto alla base canonica, bensì rispetto ai vettori $v_1, v_2, v_3$, è così?
mi scuso se le mie domande possono sembrare un pò monotone o stupide ma ogni piccolo dubbio contribuisce a farmi un gran caos in testa
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