Esercizio su endomorfismo

[Silver1011]

Salve a tutti, ho iniziato a fare un esercizio di cui non ho i risultati e vorrei sapere se è svolto bene in quanto mi trovo, in alcuni punti risultati un po' "strani".
Allora mi si da l'endomorfismo F definito come:
F(e1)=ke1+(k-1)e2+e3
F(e2)= (k-1)e1+ke2
F(e3)=e1+ke3
E mi si chiede
1) di trovare una base per il ker(F) al variare di k
2) studiare la diagonalizzabilità

1) per prima cosa ho trovato la matrice associata
A=\begin{matrix}k& k-1&1\\ k-1& k&0\\1&0&k\end{matrix}
E ho trovato le soluzioni del sistema omogeneo AX=0, notando che:
- per k=0 le soluzioni del sistema sono (0,t,t), quindi una base di ker(F)=(0,1,1)
-per k=1 le soluzioni del sistema sono (t,0,-t) , quindi una base per ker(F)=(1,0,1)
-Invece se k≠1,0 allora l'unica soluzione è quella nulla e la base per ker(F)=(0,0,0)

2) per quanto riguardo la diagonalizzabilità ho trovato la matrice
A-sI=\begin{matrix}k-s& k-1&1\\ k-1& k-s&0\\1&0&k-s\end{matrix}
Dopo di che ho calcolato il determinante e l'ho posto uguale a zero trovandomi le seguenti soluzioni
k=s
s1= {2k+(4k^2-8k+2k-2)^1/2}/{2}
s2={2k-(4k^2-8k+2k-2)^1/2}/{2}
Allora
- se k≠s1 ,s2 è diagonalizzabilità perché ho 3 autovalori distinti
-Se k=s1 oppure s2 ho che il delta è minore di zero e lo stesso accade se k=s1=s2. In questo caso,ammettendo che non ho sbagliato, dovrei semplicemente dire che F non è diagonalizzabile per nessun k reale?

Grazie.

[maluz1]

Se il polinomio caratteristico che trovi non è totalmente riducibile (quindi quando i polinomi che trovi hanno grado massimo diverso da 1) allora la funzione non è diagonalizzabile. Se hai provato a calcolare il delta ed è negativo significa che il grado massimo del polinomio è 2 e di conseguenza è automaticamente NON diagonalizzabile.