Esercizio su Endomorfismi
Salve a tutti
Sono alle prese con un esercizio e non sto riuscendo a farmi venire un'idea per dimostrarlo. Il testo è questo:
"Siano $n \geq 2$ un intero, $f\inEnd(\mathbb{C}^n)$ e $\lambda\in\mathbb{C}$.
Mostrare che se esiste un intero $k\geq2$ tale che $dimKer(f-\lambda id)^k=k dimKer(f-\lambda id)$, allora per ogni intero $h$, $1\leq h \leq k$, $dimKer(f-\lambda id)^h=h dimKer(f-\lambda id)$".
Il mio approccio è stato questo:
OSS: Se $\lambda$ non è autovalore per $f$ allora $dimKer(f-\lambda id)=0$ e la tesi è ovviamente vera poichè $dimKer(f-\lambda id)^k=k dimKer(f-\lambda id)=0$ e vale che ${0}=Ker(f-\lambda id)^k \supseteq Ker(f-\lambda id)^h, \forall 1\leq h\leq k$.
Posso passare al caso $\lambda$ autovalore per $f$ (e dunque $Ker(f-\lambda id)\ne {0}$).
Il mio sospetto è che la faccenda possa essere affrontata per induzione su $k$.
Intanto osservo che nel caso $k=2$ la tesi è banalmente vera. Questo però non mi fa capire come dovrei affrontare un eventuale passo induttivo, per cui provo a vedere cosa succede se $k=3$.
OSS: se $k=3$ ho che $dimKer(f-\lambda id)^3=3 dimKer(f-\lambda id)$. Se $n=3$ e $dimKer(f-\lambda id)=2$ con $\lambda$ autovalore di molteplicità algebrica $3$ la tesi mi risulta falsa. Dunque in qualche modo sembrerebbe che i blocchi di Jordan relativi a $\lambda$, almeno in questo caso, non possano avere dimensione $1$ oppure $n$ e $k$ creano problemi quando sono uguali.
In tutti i casi questa ultima osservazione non mi ha aiutato a capire come "costruire" un passo induttivo (ammesso che questa sia una strada sensata) ma mi ha fatto venire il sospetto che ci sia qualche altra idea intermedia.
Qualcuno può darmi un suggerimento per favore?
Grazie mille a tutti in anticipo.
Sono alle prese con un esercizio e non sto riuscendo a farmi venire un'idea per dimostrarlo. Il testo è questo:
"Siano $n \geq 2$ un intero, $f\inEnd(\mathbb{C}^n)$ e $\lambda\in\mathbb{C}$.
Mostrare che se esiste un intero $k\geq2$ tale che $dimKer(f-\lambda id)^k=k dimKer(f-\lambda id)$, allora per ogni intero $h$, $1\leq h \leq k$, $dimKer(f-\lambda id)^h=h dimKer(f-\lambda id)$".
Il mio approccio è stato questo:
OSS: Se $\lambda$ non è autovalore per $f$ allora $dimKer(f-\lambda id)=0$ e la tesi è ovviamente vera poichè $dimKer(f-\lambda id)^k=k dimKer(f-\lambda id)=0$ e vale che ${0}=Ker(f-\lambda id)^k \supseteq Ker(f-\lambda id)^h, \forall 1\leq h\leq k$.
Posso passare al caso $\lambda$ autovalore per $f$ (e dunque $Ker(f-\lambda id)\ne {0}$).
Il mio sospetto è che la faccenda possa essere affrontata per induzione su $k$.
Intanto osservo che nel caso $k=2$ la tesi è banalmente vera. Questo però non mi fa capire come dovrei affrontare un eventuale passo induttivo, per cui provo a vedere cosa succede se $k=3$.
OSS: se $k=3$ ho che $dimKer(f-\lambda id)^3=3 dimKer(f-\lambda id)$. Se $n=3$ e $dimKer(f-\lambda id)=2$ con $\lambda$ autovalore di molteplicità algebrica $3$ la tesi mi risulta falsa. Dunque in qualche modo sembrerebbe che i blocchi di Jordan relativi a $\lambda$, almeno in questo caso, non possano avere dimensione $1$ oppure $n$ e $k$ creano problemi quando sono uguali.
In tutti i casi questa ultima osservazione non mi ha aiutato a capire come "costruire" un passo induttivo (ammesso che questa sia una strada sensata) ma mi ha fatto venire il sospetto che ci sia qualche altra idea intermedia.
Qualcuno può darmi un suggerimento per favore?
Grazie mille a tutti in anticipo.
Risposte
Stavo pensando anche ad un altro modo per tentare di addomesticare il problema. Però mi blocco anche qui...
Dal momento che la decomposizione di Fitting mi permette di suddividere gli autospazi in base agli autovalori a cui sono relativi, potrei senza perdita di generalità pensare che $f$ abbia solo $\lambda$ come autovalore.
Da qui scrivo $f$ in una base di Jordan ed ottengo per $f-\lambda id$ una matrice di Jordan a blocchi nilpotenti.
Da qui la tesi appare intuitivamente vera. Il problema è che da questa idea non so come si potrebbe impostare una dimostrazione e mi servirebbe un suggerimento.
Dal momento che la decomposizione di Fitting mi permette di suddividere gli autospazi in base agli autovalori a cui sono relativi, potrei senza perdita di generalità pensare che $f$ abbia solo $\lambda$ come autovalore.
Da qui scrivo $f$ in una base di Jordan ed ottengo per $f-\lambda id$ una matrice di Jordan a blocchi nilpotenti.
Da qui la tesi appare intuitivamente vera. Il problema è che da questa idea non so come si potrebbe impostare una dimostrazione e mi servirebbe un suggerimento.
Questo esercizio mi perseguita da più di due settimane, è tempo di ucciderlo una volta per tutte.
L'induzione non mi sembra una buona strada, penso di averlo risolto ma devo rivedere il ragionamento a mente fresca.
Iniziamo con un indizio:
senza perdita di generalità supponiamo $\lambda = 0$ allora, posto $d_i = dimKerf^i$, l'ipotesi $d_k = d_1*k$ ci dice che non ci sono blocchi di ordine $ < k$: supponiamo per assurdo che ci sia anche solo un blocco di ordine $h$ nella forma di jordan di $f$ relativa a $\lambda = 0$, allora: [tex]J(f) = \left[\begin{array}{cc} \begin{array}{cc} J_1 & \\ & J_2 \end{array} & 0 \\ 0 & \begin{array}{cc} \ddots & \\ & J_p \end{array} \end{array}\right][/tex] dove $J_1$ ha ordine $h$ e i restanti hanno ordine maggiore o uguale a $k$. allora $dim(Ker(f^k)) = \sum_{i=1}^p dim(Ker(J_i^k))$, adesso osserva che se $J_i$ è un blocco di jordan relativo a $0$ di ordine $s$ si ha che $dimKerJ_i^q = {(q, \if q <= s),(s, \if q>=s):}$ dunque $dim(Ker(f^k)) = h + (d_1 - 1)*k$[nota]ho esattamente $d_1 = dimKerf$ blocchi di Jordan: uno di ordine $h$, gli altri di almeno $k$[/nota] che è minore di $k*d_1$, contro le ipotesi. Dunque ho blocchi di ordine almeno $k$, da cui...
[ot]Studi a Pisa?[/ot]
L'induzione non mi sembra una buona strada, penso di averlo risolto ma devo rivedere il ragionamento a mente fresca.
Iniziamo con un indizio:
senza perdita di generalità supponiamo $\lambda = 0$ allora, posto $d_i = dimKerf^i$, l'ipotesi $d_k = d_1*k$ ci dice che non ci sono blocchi di ordine $ < k$: supponiamo per assurdo che ci sia anche solo un blocco di ordine $h$ nella forma di jordan di $f$ relativa a $\lambda = 0$, allora: [tex]J(f) = \left[\begin{array}{cc} \begin{array}{cc} J_1 & \\ & J_2 \end{array} & 0 \\ 0 & \begin{array}{cc} \ddots & \\ & J_p \end{array} \end{array}\right][/tex] dove $J_1$ ha ordine $h$ e i restanti hanno ordine maggiore o uguale a $k$. allora $dim(Ker(f^k)) = \sum_{i=1}^p dim(Ker(J_i^k))$, adesso osserva che se $J_i$ è un blocco di jordan relativo a $0$ di ordine $s$ si ha che $dimKerJ_i^q = {(q, \if q <= s),(s, \if q>=s):}$ dunque $dim(Ker(f^k)) = h + (d_1 - 1)*k$[nota]ho esattamente $d_1 = dimKerf$ blocchi di Jordan: uno di ordine $h$, gli altri di almeno $k$[/nota] che è minore di $k*d_1$, contro le ipotesi. Dunque ho blocchi di ordine almeno $k$, da cui...
[ot]Studi a Pisa?[/ot]
Grazie dell risposta. È un esercizio che ha fatto perdere molto tempo anche a me... Ho pensato la stessa cosa sul fatto che il numero di blocchi nilpotenti di ordine minore di $k$ fosse $0$.
Una volta dimostrato ciò si potrebbe usare quanto segue (mi pare fosse addirittura un esercizio dell'appello precedente).
Il numero di blocchi di Jordan di ordine minore di $k$ è dato da $n_1 - n_k$, dove $n_1=dim Ker(g)$ ed $n_k=dim Ker(g^k) - dim Ker(g^{k-1})$. Ricordo che con $g$ intendo $f-\lambda id$ e ho supposto senza perdita di generalità che $\lambda$ sia l'unico autovalore di $f$.
In questo caso, sapendo ch $n_1 - n_k=0$, se ne deduce che $dim Ker(g^{k-1}) = (k-1)dim Ker(g)$ avendo sfruttato l'ipotesi iniziale su $k$... Questo dovrebbe concludere induttivamente l'esercizio.
Comunque si. Studio a Pisa. Se ti va contattami in privato se devi ancora dare l'esame che studiamo insieme.
Una volta dimostrato ciò si potrebbe usare quanto segue (mi pare fosse addirittura un esercizio dell'appello precedente).
Il numero di blocchi di Jordan di ordine minore di $k$ è dato da $n_1 - n_k$, dove $n_1=dim Ker(g)$ ed $n_k=dim Ker(g^k) - dim Ker(g^{k-1})$. Ricordo che con $g$ intendo $f-\lambda id$ e ho supposto senza perdita di generalità che $\lambda$ sia l'unico autovalore di $f$.
In questo caso, sapendo ch $n_1 - n_k=0$, se ne deduce che $dim Ker(g^{k-1}) = (k-1)dim Ker(g)$ avendo sfruttato l'ipotesi iniziale su $k$... Questo dovrebbe concludere induttivamente l'esercizio.
Comunque si. Studio a Pisa. Se ti va contattami in privato se devi ancora dare l'esame che studiamo insieme.
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