Esercizio su due sottospazi

[Giu12341]

Ho due sottospazi in $ R^3 $ ,
$ U = {(x,y,z)| x + y - z = 0} $
$ W = {(x,y,z)| x - y = 0} $

Devo determinare la loro dimensione, una base, il sottospazio intersezione e il sottospazio somma.

Per quanto riguarda la dimensione ho considerato i vincoli dei sottospazi scrivendo:

$ U = {(z-y,y,z)| z, y in R^3 } $
$ W = {(y,y,z)| z, y in R^3 } $

Quindi ho scritto che

dim U = 3 - 1 (vincolo) = 2
dim W = 3 -1 = 2

Poi ho trovato le basi assegnando in W al primo vettore z = 0 e y = 1, poi viceversa. Ho ripetuto la stessa cosa per l'altro vettore.

$ B_{U} = {(-1,1,0),(1,0,1)} $
$ B_{W} = {(0,0,1),(1,1,0)} $

Adesso devo trovare il vettore intersezione. Io ho provato a fare così, anche se non sono totalmente certa che questo procedimento sia giusto.

$ Unn W $

$ { ( x = z -y ),( x = y ):} $

$ { ( z = 2y ),( x = y ):} $

Allora ho scritto che il vettore intersezione è:

$ Unn W{(y,y,2y) | y in R} $

Fino a questo punto l'esercizio è svolto correttamente? Come si procede per il sottospazio somma U + W ?

Scusate se il titolo era troppo generico

[Giu12341]

Fammi sapere riguardo le incorrettezze di linguaggio, quali sono? E' esempre meglio essere precisi, forse è proprio per questo che ho una gran confusione in testa riguardo l'algebra lineare. Infatti per quanto riguarda i generatori... non ho capito cosa intendi.