Esercizio su distanza intrinseca su una superficie

[GreenLink]

Si provi che una successione di punti di una superficie $S$ di $\mathbb{R}^3$ converge nella distanza intrinseca se e solo se la successione converge nella distanza euclidea di $\mathbb{R}^3$.
Poichè la distanza intriseca è l'estremo inferiore delle lunghezze delle curve su $S$ che congiungono due punti, essa sarà maggiorata dalla dalla distanza euclidea, per cui se la successione converge nella distanza eucidea converge anche nella distanza intrinseca.
Per l'implicazione inversa non so bene come muovermi; credo che si debba usare la mappa esponenziale per usare le coordinate geodetiche.

[poncelet]

"GreenLink":Poichè la distanza intriseca è l'estremo inferiore delle lunghezze delle curve su $S$ che congiungono due punti, essa sarà maggiorata dalla dalla distanza euclidea...

Sei sicur* di questo? A me risulta che la distanza euclidea su di una superficie è in generale sempre minore della distanza intrinseca.

[GreenLink]

Si hai ragione.