Esercizio su dipendenza e basi
Ciao a tutti,
Ho bisogno di un piccolo aiuto con questo esercizio, non riesco a capire quale procedimento utilizzare per risolverlo:
Sia $W={(x, y, z): x + y = 0}$
a) È possibile trovare tre vettori linearmente indipendenti in W?
b) Trova due vettori linearmente indipendenti in W.
c) Trova una base di W e la sua dimensione come spazio vettoriale; W è una retta dello spazio oppure un piano?
d) Dati i vettori $v_1 = (1, 1, 1)$, $v_2 = (0, 0, 1)$ considera il sottospazio $L(v_1, v_2)$ e determina la sua dimensione come spazio vettoriale; $L(v_1, v_2)$ è una retta dello spazio oppure un piano?
Vi ringrazio!
Ho bisogno di un piccolo aiuto con questo esercizio, non riesco a capire quale procedimento utilizzare per risolverlo:
Sia $W={(x, y, z): x + y = 0}$
a) È possibile trovare tre vettori linearmente indipendenti in W?
b) Trova due vettori linearmente indipendenti in W.
c) Trova una base di W e la sua dimensione come spazio vettoriale; W è una retta dello spazio oppure un piano?
d) Dati i vettori $v_1 = (1, 1, 1)$, $v_2 = (0, 0, 1)$ considera il sottospazio $L(v_1, v_2)$ e determina la sua dimensione come spazio vettoriale; $L(v_1, v_2)$ è una retta dello spazio oppure un piano?
Vi ringrazio!
Risposte
a) $W$ è sottospazio vettoriale di $RR^3$ (ovviamente).
Se si potessero trovare tre vettori linearmente indipendenti in $W$, si avrebbe $W= RR^3$,
e questo è assurdo perchè, ad esempio, $(1,0,0) notin W$
Se si potessero trovare tre vettori linearmente indipendenti in $W$, si avrebbe $W= RR^3$,
e questo è assurdo perchè, ad esempio, $(1,0,0) notin W$
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare[/xdom]
Ho sistemato un po' le formule. Intanto ti ringrazio Gi8!
Quindi per quanto riguarda gli altri punti le risposte sono:
b) Una soluzione può essere $(1, -1, 0)$ e $(0, 0, 1)$
c) È sufficiente considerare i due vettori indipendenti che abbiamo individuato nel punto b) quindi una base di W può essere: $B = <(1,-1,0), (0,0,1)>$. Il sottospazio è un piano dello spazio.
d) Il sottospazio $L(v_1, v_2)$ ha $dim(L) = 2$ ed è una retta dello spazio.
Tutto giusto? Oppure ho sbagliato qualche ragionamento?
Quindi per quanto riguarda gli altri punti le risposte sono:
b) Una soluzione può essere $(1, -1, 0)$ e $(0, 0, 1)$
c) È sufficiente considerare i due vettori indipendenti che abbiamo individuato nel punto b) quindi una base di W può essere: $B = <(1,-1,0), (0,0,1)>$. Il sottospazio è un piano dello spazio.
d) Il sottospazio $L(v_1, v_2)$ ha $dim(L) = 2$ ed è una retta dello spazio.
Tutto giusto? Oppure ho sbagliato qualche ragionamento?
Direi tutto corretto
Grazie mille Gi8!
"Nex89":
d) Il sottospazio $L(v_1, v_2)$ ha $dim(L) = 2$ ed è una retta dello spazio.
Al di là dell'improprietà di parlare di rette e piani su uno spazio vettoriale[nota]Ha senso farlo sugli spazi affini e proiettivi.[/nota], un sottospazio di dimensione 2 è un piano (contiene 3 punti non allineati dato che contiene anche l'origine).
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