Esercizio su dimensioni di un sottoinsieme di $End(R^3)$
Salve ragazzi,
ho dei dubbi sul seguente esercizio, al quale premetto delle considerazioni
di carattere più generale di cui mi interessa comunqua controllare
la validità
Premesse:
Sappiamo che, fissate $B,C$ basi di $\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}$,
la funzione $g:L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})\to M_{m,n}(\mathbb{R})$
tale che $\forall f\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ associa
$g(f):=M_{B,C}(f)$ è un isomorfismo. Quindi ${ A_{1},...,A_{mn}} $
è una base di $M_{m,n}(\mathbb{R})\Leftrightarrow { g^{-1}(A_{1}),...,g^{-1}(A_{mn})} $
è una base di $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$.
Esercizio:
Siano $V:=L{ (1,0,1),(0,-1,0)} \subset\mathbb{R}^{3}$
e $U:={ f\in End(\mathbb{R}^{3})|Imf\subset V} \subset End(\mathbb{R}^{3})$.
Determinare la dimensione di $U$.
Svolgimento:
Intanto $V$ ha equazione $V: z-x=0$.
Poi $f \in U \Leftrightarrow Imf\subset V$
$\Leftrightarrow Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R},z=x}$
$\Leftrightarrow Imf={ (ax+by+cx,dx+ey+hx,lx+my+nx)|x,y,z\in\mathbb{R}} $
$\Leftrightarrow Imf={ x(a+c,d+h,l+n)+y(b,e,m)|x,y,z\in\mathbb{R}} $
$\Leftrightarrow Imf={ x(k_{1},k_{2},k_{3})+y(b,e,m)|x,y,z\in\mathbb{R}} $
$\Leftrightarrow Imf= { ( ( k_1 , b , 0 ),( k_2 , e , 0 ),( k_3 , m , 0 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}$
$\Leftrightarrow Imf=L(s_{1},s_{2},s_{4},s_{5},s_{7},s_{8})$ dove
ho posto ${ s_{1},...,s_{9}} $ la base canonica di $M_{3}(\mathbb{R})$.
Allora, visto che $g:L(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{3})\to M_{3}(\mathbb{R})$
è isomorfismo, posso dire che ${ f_{1},f_{2},f_{4},f_{5},f_{7},f_{8}} :={ g^{-1}(s_{1}),...,g^{-1}(s_{8})} $è
una base di $U$, perciò $dimU=6$.
PS: tra l'altro mi pare di capire che la ${ f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5},f_{6},f_{7},f_{8},f_{9}} $
è la base canonica di $End(\mathbb{R}^{3})$, dove intendo che, per
esempio, la matrice associata ad $f_{1}$ rispetto alle base canonica
di $\mathbb{R}^{3}$è
$((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
E' corretto?
Grazie a tutti!
PS: naturalmente si accettano suggerimenti per eventuali altri metodi.
ho dei dubbi sul seguente esercizio, al quale premetto delle considerazioni
di carattere più generale di cui mi interessa comunqua controllare
la validità
Premesse:
Sappiamo che, fissate $B,C$ basi di $\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m}$,
la funzione $g:L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})\to M_{m,n}(\mathbb{R})$
tale che $\forall f\in L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$ associa
$g(f):=M_{B,C}(f)$ è un isomorfismo. Quindi ${ A_{1},...,A_{mn}} $
è una base di $M_{m,n}(\mathbb{R})\Leftrightarrow { g^{-1}(A_{1}),...,g^{-1}(A_{mn})} $
è una base di $L(\mathbb{R}^{n},\mathbb{R}^{m})$.
Esercizio:
Siano $V:=L{ (1,0,1),(0,-1,0)} \subset\mathbb{R}^{3}$
e $U:={ f\in End(\mathbb{R}^{3})|Imf\subset V} \subset End(\mathbb{R}^{3})$.
Determinare la dimensione di $U$.
Svolgimento:
Intanto $V$ ha equazione $V: z-x=0$.
Poi $f \in U \Leftrightarrow Imf\subset V$
$\Leftrightarrow Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R},z=x}$
$\Leftrightarrow Imf={ (ax+by+cx,dx+ey+hx,lx+my+nx)|x,y,z\in\mathbb{R}} $
$\Leftrightarrow Imf={ x(a+c,d+h,l+n)+y(b,e,m)|x,y,z\in\mathbb{R}} $
$\Leftrightarrow Imf={ x(k_{1},k_{2},k_{3})+y(b,e,m)|x,y,z\in\mathbb{R}} $
$\Leftrightarrow Imf= { ( ( k_1 , b , 0 ),( k_2 , e , 0 ),( k_3 , m , 0 ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}$
$\Leftrightarrow Imf=L(s_{1},s_{2},s_{4},s_{5},s_{7},s_{8})$ dove
ho posto ${ s_{1},...,s_{9}} $ la base canonica di $M_{3}(\mathbb{R})$.
Allora, visto che $g:L(\mathbb{R}^{3},\mathbb{R}^{3})\to M_{3}(\mathbb{R})$
è isomorfismo, posso dire che ${ f_{1},f_{2},f_{4},f_{5},f_{7},f_{8}} :={ g^{-1}(s_{1}),...,g^{-1}(s_{8})} $è
una base di $U$, perciò $dimU=6$.
PS: tra l'altro mi pare di capire che la ${ f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5},f_{6},f_{7},f_{8},f_{9}} $
è la base canonica di $End(\mathbb{R}^{3})$, dove intendo che, per
esempio, la matrice associata ad $f_{1}$ rispetto alle base canonica
di $\mathbb{R}^{3}$è
$((1,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
E' corretto?
Grazie a tutti!
PS: naturalmente si accettano suggerimenti per eventuali altri metodi.
Risposte
Innanzitutto ti dico come farei io. Il trucco sta nello scegliere una base "buona" di $RR^3$.
La base migliore da prendere, secondo me, è quella formata da $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,0)$ (nota che $(v_1,v_2)$ è base di $V$) e come $v_3$ un qualsiasi vettore che completa ad una base, per esempio, $v_3=(1,0,-1)$ (ora [tex]\mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3)[/tex] è base di $RR^3$).
Sia $f\in"End"(RR^3)$ e sia $A$ la matrice associata ad $f$ nella base [tex]\mathcal{B}[/tex].
Si ha che
$f\in U\ \Leftrightarrow\ "Im"f\subset V$
$\ \Leftrightarrow\ f(v_1), f(v_2), f(v_3)\in V$
$\ \Leftrightarrow\ A " e' nella forma "A=((*,*,*),(*,*,*),(0,0,0))$
Quindi [tex]\dim g(U)=6[/tex], dove $g$ è l'isomorfismo che hai definito tu prima rispetto alla base [tex]\mathcal{B}[/tex], da cui segue che [tex]\dim U=6[/tex].
Per quanto riguarda la tua risoluzione, non capisco questa equivalenza:
Se $( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) )$ è la matrice associata ad $f$ (rispetto alla base canonica), osservando che
$Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}={ ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}$,
si ha che
$Imf\subset V\ Leftrightarrow\ { ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}\subset V$ *
$\Leftrightarrow\ \forall x,y,z\in\mathbb{R}\ ax+by+cz=lx+my+nz$
Mamma mia che faticaccia. Spero di non aver commesso errori.
* Edit: ho sistemato un errorino. Avevo scritto $U$ al posto di $V$.
La base migliore da prendere, secondo me, è quella formata da $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,0)$ (nota che $(v_1,v_2)$ è base di $V$) e come $v_3$ un qualsiasi vettore che completa ad una base, per esempio, $v_3=(1,0,-1)$ (ora [tex]\mathcal{B}=(v_1,v_2,v_3)[/tex] è base di $RR^3$).
Sia $f\in"End"(RR^3)$ e sia $A$ la matrice associata ad $f$ nella base [tex]\mathcal{B}[/tex].
Si ha che
$f\in U\ \Leftrightarrow\ "Im"f\subset V$
$\ \Leftrightarrow\ f(v_1), f(v_2), f(v_3)\in V$
$\ \Leftrightarrow\ A " e' nella forma "A=((*,*,*),(*,*,*),(0,0,0))$
Quindi [tex]\dim g(U)=6[/tex], dove $g$ è l'isomorfismo che hai definito tu prima rispetto alla base [tex]\mathcal{B}[/tex], da cui segue che [tex]\dim U=6[/tex].
Per quanto riguarda la tua risoluzione, non capisco questa equivalenza:
"dark121it":
$Imf\subset V\ \Leftrightarrow\ Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R},z=x}$
Se $( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) )$ è la matrice associata ad $f$ (rispetto alla base canonica), osservando che
$Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}={ ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}$,
si ha che
$Imf\subset V\ Leftrightarrow\ { ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}\subset V$ *
$\Leftrightarrow\ \forall x,y,z\in\mathbb{R}\ ax+by+cz=lx+my+nz$
Mamma mia che faticaccia. Spero di non aver commesso errori.
* Edit: ho sistemato un errorino. Avevo scritto $U$ al posto di $V$.
Allora, intanto grazie per l risposta.
Poi
$Imf\subset V$ e non $\subset U$ ($Imf$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^{3}$,
mentre $U$ è un insieme di funzioni; ma capisco che ci si confonde
facilmente con i simboli $U,V$
).
Se $( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) )$ è la matrice associata ad $f$ (rispetto alla base canonica), osservando che
$Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}={ ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}$,
si ha che
$Imf\subset U\ Leftrightarrow\ { ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}\subset U$
$\Leftrightarrow\ \forall x,y,z\in\mathbb{R}\ ax+by+cz=lx+my+nz$
[/quote]
Si' hai ragione...mi sono confuso con i simboli
!
Provo a continuare da dove hai lasciato tu:
$Imf\subset V\Leftrightarrow Imf=\{(ax+by+cz,dx+ey+hz,ax+by+cz)|x,y,z\in\mathbb{R}\}$
$\Leftrightarrow M_{E}(f)=((a,b,c),(d,e,h),(a,b,c))=a(s_{1}+s_{7})+b(s_{2}+s_{8})+c(s_{3}+s_{9})+ds_{4}+es_{5}+hs_{6}$.
Quindi, posto $Q:=\{M_{E}(f)|f\in U\}$, risulta che una base di $Q$
è $\{s_{1}+s_{7},s_{2}+s_{8},s_{3}+s_{9},s_{4},s_{5},s_{6}\}$
$\Rightarrow dimQ=6\Rightarrow dimU=dimg^{-1}(Q)=6$.
In pratica, se ho capito bene, in questo tipo di esercizi si va a vedere la dimensione dell'insieme delle matrici associate alle
funzioni, anziché ragionare sulle funzioni stesse.
Poi
"cirasa":
$....Imf\subset U....$
$Imf\subset V$ e non $\subset U$ ($Imf$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}^{3}$,
mentre $U$ è un insieme di funzioni; ma capisco che ci si confonde
facilmente con i simboli $U,V$
)."cirasa":
Per quanto riguarda la tua risoluzione, non capisco questa equivalenza:
[quote="dark121it"]$Imf\subset V\ \Leftrightarrow\ Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R},z=x}$
Se $( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) )$ è la matrice associata ad $f$ (rispetto alla base canonica), osservando che
$Imf= { ( ( a , b , c ),( d , e , h ),( l , m , n ) ) ( ( x ),( y ),( z ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}={ ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}$,
si ha che
$Imf\subset U\ Leftrightarrow\ { ( ( ax+by+cz ),( dx+ey+hz ),( lx+my+nz ) ) |x,y,z\in\mathbb{R}}\subset U$
$\Leftrightarrow\ \forall x,y,z\in\mathbb{R}\ ax+by+cz=lx+my+nz$
[/quote]
Si' hai ragione...mi sono confuso con i simboli
!Provo a continuare da dove hai lasciato tu:
$Imf\subset V\Leftrightarrow Imf=\{(ax+by+cz,dx+ey+hz,ax+by+cz)|x,y,z\in\mathbb{R}\}$
$\Leftrightarrow M_{E}(f)=((a,b,c),(d,e,h),(a,b,c))=a(s_{1}+s_{7})+b(s_{2}+s_{8})+c(s_{3}+s_{9})+ds_{4}+es_{5}+hs_{6}$.
Quindi, posto $Q:=\{M_{E}(f)|f\in U\}$, risulta che una base di $Q$
è $\{s_{1}+s_{7},s_{2}+s_{8},s_{3}+s_{9},s_{4},s_{5},s_{6}\}$
$\Rightarrow dimQ=6\Rightarrow dimU=dimg^{-1}(Q)=6$.
In pratica, se ho capito bene, in questo tipo di esercizi si va a vedere la dimensione dell'insieme delle matrici associate alle
funzioni, anziché ragionare sulle funzioni stesse.
Ho sistemato l'errore che mi hai segnalato. Scusami, mi ero confuso.
Per il resto è tutto ok. Ho capito che hai capito.
Ti faccio notare, però, che dovresti essere più preciso nel definire le matrici $s_i$.
Per esempio, non si capisce se con $s_3$ stai indicando $((0,0,0),(0,0,0),(1,0,0))$ oppure $((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$.
Io so che volevi indicare la seconda, ma non è chiaro dal contesto.
Mi permetto di consigliarti di usare questa simbologia per le prossime volte. Denota con $E_{ij}$ la matrice $3\times 3$ che ha gli elementi tutti nulli tranne quello di posto $(i,j)$ che ha valore $1$.
Con queste notazioni una base di $M_3(RR)$ è $(E_{ij})_{i,j=1,2,3}$ e una base dello spazio $Q$ è $(E_{11}+E_{31},E_{12}+E_{32},E_{13}+E_{33},E_{21},E_{22},E_{23})$.
Ciao!
Per il resto è tutto ok. Ho capito che hai capito.
Ti faccio notare, però, che dovresti essere più preciso nel definire le matrici $s_i$.
Per esempio, non si capisce se con $s_3$ stai indicando $((0,0,0),(0,0,0),(1,0,0))$ oppure $((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$.
Io so che volevi indicare la seconda, ma non è chiaro dal contesto.
Mi permetto di consigliarti di usare questa simbologia per le prossime volte. Denota con $E_{ij}$ la matrice $3\times 3$ che ha gli elementi tutti nulli tranne quello di posto $(i,j)$ che ha valore $1$.
Con queste notazioni una base di $M_3(RR)$ è $(E_{ij})_{i,j=1,2,3}$ e una base dello spazio $Q$ è $(E_{11}+E_{31},E_{12}+E_{32},E_{13}+E_{33},E_{21},E_{22},E_{23})$.
Ciao!
"cirasa":
Ti faccio notare, però, che dovresti essere più preciso nel definire le matrici $s_i$.
Per esempio, non si capisce se con $s_3$ stai indicando $((0,0,0),(0,0,0),(1,0,0))$ oppure $((0,0,1),(0,0,0),(0,0,0))$.
Io so che volevi indicare la seconda, ma non è chiaro dal contesto.
Mi permetto di consigliarti di usare questa simbologia per le prossime volte. Denota con $E_{ij}$ la matrice $3\times 3$ che ha gli elementi tutti nulli tranne quello di posto $(i,j)$ che ha valore $1$.
Con queste notazioni una base di $M_3(RR)$ è $(E_{ij})_{i,j=1,2,3}$ e una base dello spazio $Q$ è $(E_{11}+E_{31},E_{12}+E_{32},E_{13}+E_{33},E_{21},E_{22},E_{23})$.
Ciao!
Hai perfettamente ragione;
Userò la simbologia da te consigliata, per le prox volte.
Ti ringrazio di nuovo per la tua disponibilità!
Alla prossima.
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