Esercizio su Diagonalizzazione

[trapaco]

ciao a tutti,
sono nuovo su questo forum , trovo molto utili per la mia preparazione i post con gli esercizi risolti ,
e spero che si possa arrivare ad una soluzione anche per l'esercizio che propongo io.
Si consideri la matrice parametrica:

$((t+3,2t+2,0),(-t-1,-2t,0),(t,t,1))$

a)Si studi, al variare del parametro t, la diagonalizzazione della matrice A sul campo reale;
b)Trovare gli autovettori di A1;

Io penso che il mio problema sia quello di calcolare il polinomio caratteristico e di conseguenza gli autovalori , perche' solitamente una volta trovati gli autovalori....di solito riesco a finire l'exe.

Proviamo a risolvere l'exe:

Scriviamo la matrice (A-\lambda Id):

$((t+3-\lambda,2t+2,0),(-t-1,-2t-\lambda,0),(t,t,1-\lambda))$

da qui, iniziamo a calcolare il polinomio caratteristico:

$p(\lambda) = det(A-\lambda Id) = (1-\lambda)[(t+3-\lambda)(2t-\lambda)-(2t+2)(-t-1)]$
......
......
se non sbagli i calcoli arrivo al punto:

$ = (1-\lambda)[\lambda^2-2t+\lambda t-3\lambda+2]$

e ora??? come continuo per calcolare gli autovalori??

Spero che mi possiate essere d'aiuto..Grazie a tutti..!!

[Sk_Anonymous]

Devi risolvere l'equazione considerando l'incognita $\lambda$ e il parametro $t$:

$(1-\lambda)[\lambda^2+(t-3)\lambda-2t+2]=0 rarr [\lambda=1] vv [\lambda=2] vv [\lambda=1-t]$

Ora dovresti proseguire discutendo il parametro $t$. Per esempio, quando $[t!=0] ^^ [t!=-1]$, avendo tre autovalori distinti, la matrice è sicuramente diagonalizzabile. Quando $[t=0] vv [t=-1]$, hai un autovalore doppio che potrebbe risultare problematico. In questo caso, si tratta di determinare la dimensione dell'autospazio associato. Vale comunque la pena farti notare che, se per $[t=0] vv [t=-1]$ la matrice fosse risultata simmetrica, avresti potuto concludere immediatamente utilizzando il teorema sulla diagonalizzabilità di queste matrici. Ma purtroppo, nel tuo caso, questa scorciatoia non può essere utilizzata.

[trapaco]

Grazie mille per la risposta

una cosa...con quale calcolo hai trovato che gli autovalori sono:
[λ=1]∨[λ=2]∨[λ=1−t] ??

Per [λ=1] ci sono,
perche' mettendo il valore [λ=1] tutta l'equazione si annulla, ed e' dato da: (1−λ)[λ^2+(t−3)λ−2t+2]=0;

gli altri e due autovalori saranno dati dall'equazione di secondo grado (1−λ)[λ^2+(t−3)λ−2t+2]=0; , ma come gli hai calcolati ??

Ancora grazie mille per l'aiuto...!ciaoo

[Sk_Anonymous]

"Trapaco":
... Per $[λ=1]$ ci sono, perche' mettendo il valore $[λ=1]$ tutta l'equazione si annulla ...

Un'equazione non può essere nulla, può essere verificata.

"Trapaco":
... gli altri due autovalori saranno dati dall'equazione di secondo grado ...

Ho semplicemente utilizzato la formula risolutiva:

$[\lambda^2+(t-3)\lambda-2t+2]=0 rarr [\lambda=(-t+3+-sqrt((t+1)^2))/2] rarr [\lambda=(-t+3+-(t+1))/2] rarr$

$rarr [\lambda=2] vv [\lambda=1-t]$

[trapaco]

Grazie mille per la risposta..!!

Infine per calcolare il punto b) ( Trovare gli autovettori di A1; )

mi basta sostituire a lambda il valore λ=1 ??


Grazie per l'aiuto..!!

[Sk_Anonymous]

"Trapaco":
Infine per calcolare il punto ... mi basta sostituire a lambda il valore λ=1?

Essendo $[t]$ il parametro, devi sostituire $[t=1]$. In questo modo, la matrice diventa numerica e puoi procedere come sempre. Gli autovalori però li conosci già, sono $[\lambda=1]$, $[\lambda=2]$ e $[\lambda=0]$.

[trapaco]

Perfetto cosi l'esercizio e' concluso!! ...

Ancora grazie mille..mi sei stato veramente d'aiuto!!

Ps: Ho aperto un'altro topic con un altro esercizio, non so se hai avuto modo di vederlo!!Nel caso..prova a darci un'occhio..mi fa molto piacere ricevere aiuto da persone preparate come te

ciaooo

[trapaco]

Scrivo per comunicare a chi interessato agli esercizi svolti come me, che la matrice iniziale era scritta in maniera errata (sorry) ..ma i calcoli, il procedimento e la soluzione sono giusti..

ora tutto e corretto..


Ciaooo