Esercizio su Diagonalizzazione 2

[trapaco]

Ciao a tutti, questo e' secondo esercizio che propongo per quanto riguarda la diagonalizzazione, e spero che come quello precedente riusciamo a risolverlo insieme...!!!

Si consideri la matrice parametrica:

$A_t$ = $((2,0,-1),(1,1,-1),(0,1,t))$

a) Si stabilista per quali valori di t la matrice e' diagonalizzabile;
b) Si determinino due rette l e h in $R^3$ tali che $A_4$ * l $!=$ l e $A_4$ * h $=$ h.
Quante rette b in $R^3$ hanno la proprieta' che $A_2$ * b = b ?


Iniziamo con il risolvere l'exe:

Per vedere per quali valori di t e' diagonalizzabile ci calcoliamo il polinomio caratteristico:
(qui e' il mio primo problema ):


$(A_t - \lambdaId)$ = $((2-\lambda,0,-1),(1,1-\lambda,-1),(0,1,t-\lambda))$

il polinomio caratteristico:

$p(\lambda) = det (A_t - \lambdaId)$ = $(2-\lambda)[(1-\lambda)(t-lambda)+1] -1(1)$

....
a questo punto mi conviene procedere a moltiplicare o c'e qualche altro modo che mi dice quali sono gli autovalori??
....
Continuando a moltiplicare ho:
$ = (2-\lambda)[t-\lambda t-\lambda + \lambda^2 +1 ] - 1 $
$ = 2t - 2\lambda t - 2\lambda + 2\lambda^2 + 2 -\lambda t + \lambda^2 t + \lambda^2 - \lambda^3 - \lambda -1 $
$ = - \lambda^3 + 3\lambda^2 + \lambda^2 t - 3\lambda t - 3\lambda + 2t +1 $

Ora pero'...arrivato a questo punto non so piu come andare avanti, per calcolare gli autovalori..!!
help me...!!

Spero che mi possiate essere d'aiuto come lo siete stati nell'esercizio proposto precedentemente..

come sempre GRAZIE a tutti..!! ciaoo

[Sk_Anonymous]

"Trapaco":
Si consideri la matrice parametrica:
$A_t$ = $((2,0,-1),(1,1,-1),(0,1,t))$
a) Si stabilista per quali valori di t la matrice e' diagonalizzabile;
b) Si determinino due rette l e h in $R^3$ tali che $A_4$ * l $!=$ l e $A_4$ * h $=$ h.
Quante rette b in $R^3$ hanno la proprieta' che $A_2$ * b = b ?

Per $[t=4]$ la matrice ha $[3]$ autovalori distinti e $[3]$ autospazi rispettivamente associati di dimensione $[1]$. Quindi, $[l]$ è un qualsiasi sottospazio di dimensione unitaria che non sia un autospazio, mentre $[h]$ è uno di questi autospazi.
Anche per $[t=2]$ la matrice ha $[3]$ autovalori distinti e $[3]$ autospazi rispettivamente associati di dimensione $[1]$. Quindi, $$ è ancora uno di questi autospazi e il loro numero è $[3]$.