Esercizio su diagonalizzabilità al variare di a
Salve a tutti,
a breve avrò l'esame di algebra lineare e facendo alcuni esercizi ho incontrato questo problema che non so come risolvere.
L'esercizio chiede di discutere al variare di a la diagonalizzabilità della matrice, per prima cosa ho trovato il polinomio caratteristico ma svolgendo i calcoli il parametro a scompare.
Quindi negli autovalori trovati non ho a, come dovrei concludere l'esercizio?
Lascio la matrice in questione.
A=$((-a-x,a+1,0),(-a-1,a+2-x,0),(1,-1,2-x))$
Grazie a chi risponderà.
a breve avrò l'esame di algebra lineare e facendo alcuni esercizi ho incontrato questo problema che non so come risolvere.
L'esercizio chiede di discutere al variare di a la diagonalizzabilità della matrice, per prima cosa ho trovato il polinomio caratteristico ma svolgendo i calcoli il parametro a scompare.
Quindi negli autovalori trovati non ho a, come dovrei concludere l'esercizio?
Lascio la matrice in questione.
A=$((-a-x,a+1,0),(-a-1,a+2-x,0),(1,-1,2-x))$
Grazie a chi risponderà.
Risposte
Sicuro sia questa la matrice?
Posta un po' di calcoli, così vediamo dove ti blocchi.
Posta un po' di calcoli, così vediamo dove ti blocchi.
La matrice di partenza è
$A=((-a,a+1,0),(-a-1,a+2,0),(1,-1,2))$
per discutere la diagonalizzabilità al variare di a utilizzo la matrice che ho scritto nel messaggio precedente e quindi risulta (sviluppando lungo la terza colonna):
$(2-x)det((-a-x,a+1),(-a-1,a+2-x)) = (2-x)[(-a-x)(a+2-x)-(a+1)(-a-1)]=(2-x)[-a^2 -2a+ax-ax-2x+x^2+a^2+a+a+1]= (2-x)(-2x +x^2 +1)$
A questo punto non ho più il valore a, come faccio a discutere la diagonalizzabilità rispetto a quel valore?
$A=((-a,a+1,0),(-a-1,a+2,0),(1,-1,2))$
per discutere la diagonalizzabilità al variare di a utilizzo la matrice che ho scritto nel messaggio precedente e quindi risulta (sviluppando lungo la terza colonna):
$(2-x)det((-a-x,a+1),(-a-1,a+2-x)) = (2-x)[(-a-x)(a+2-x)-(a+1)(-a-1)]=(2-x)[-a^2 -2a+ax-ax-2x+x^2+a^2+a+a+1]= (2-x)(-2x +x^2 +1)$
A questo punto non ho più il valore a, come faccio a discutere la diagonalizzabilità rispetto a quel valore?
Beh, vuol dire che gli autovalori non dipendono da $a$... Che fortuna!
@Danny24
Prendendo per buoni i tuoi conti, abbiamo tre autovalori reali che non dipendono dal parametro.
Un autovalore è uguale a 2.
Gli altri due sono due radici coincidenti e pari ad 1, quindi la molteplicità algebrica è 2.
È inutile sostituire 2, perché già sappiamo che avremo una matrice di rango due e quindi estrarremo un autovettore.
Quello che non sappiamo e se riusciamo a trovare due autovettori per $lambda=1$ così che la molteplicità geometrica sia 2.
Quindi trova $(A-1*I)$ e lavora con gauss e troverai che per qualsiasi valore con $a!=-1$ la matrice ha sempre rango 2…per cui non è diagonalizzabile.
Poi tratta l'ultima casistica con $a=-1$ e $lambda=1$ e troverai che anche in questo caso la matrice ha rango 2.
Tirando le somme, la matrice non è mai diagonalizzabile.
Prendendo per buoni i tuoi conti, abbiamo tre autovalori reali che non dipendono dal parametro.
Un autovalore è uguale a 2.
Gli altri due sono due radici coincidenti e pari ad 1, quindi la molteplicità algebrica è 2.
È inutile sostituire 2, perché già sappiamo che avremo una matrice di rango due e quindi estrarremo un autovettore.
Quello che non sappiamo e se riusciamo a trovare due autovettori per $lambda=1$ così che la molteplicità geometrica sia 2.
Quindi trova $(A-1*I)$ e lavora con gauss e troverai che per qualsiasi valore con $a!=-1$ la matrice ha sempre rango 2…per cui non è diagonalizzabile.
Poi tratta l'ultima casistica con $a=-1$ e $lambda=1$ e troverai che anche in questo caso la matrice ha rango 2.
Tirando le somme, la matrice non è mai diagonalizzabile.
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