Esercizio su convergenza rispetto ad una topologia
Buongiorno a tutti. Come sempre ho dei dubbi sullo svolgimento di un esercizio. La traccia è la seguente:
1) Sia $ X $ uno spazio topologico dotato di topologia discreta. Dimostrare che ogni successione ${x_n} $ in $ X $ è convergente se e solo se è definitivamente costante
2) Sia $ X $ uno spazio topologico dotato di topologia banale. Dimostrare che qualsiasi successione ${ x_n} $ di $ X $ converge ad ogni punto di $ X $.
Per il primo punto ho provato a fare così
poiché $ X $ è discreto, soddisfa gli assiomi di separazione, quindi è di Hausdorff $\Rightarrow X $ converge ad un unico punto, quindi $ { x_n } $ è definitivamente costante.
$\ Leftarrow $ se $ { x_n } $ è definitivamente costante converge ad un solo punto $ p $ $\ Rightarrow {x_n } $ converge.
2 ) Sia $ X $ dotato di topologia banale. Allora $ X $ è aperto. In particolare ogni punto di $ X $ è di accumulazione $\Rightarrow {x_n } $ converge ad ogni punto di $ X $
come pensate che sia svolto? Spero di non aver fatto molti errori
1) Sia $ X $ uno spazio topologico dotato di topologia discreta. Dimostrare che ogni successione ${x_n} $ in $ X $ è convergente se e solo se è definitivamente costante
2) Sia $ X $ uno spazio topologico dotato di topologia banale. Dimostrare che qualsiasi successione ${ x_n} $ di $ X $ converge ad ogni punto di $ X $.
Per il primo punto ho provato a fare così
poiché $ X $ è discreto, soddisfa gli assiomi di separazione, quindi è di Hausdorff $\Rightarrow X $ converge ad un unico punto, quindi $ { x_n } $ è definitivamente costante.
$\ Leftarrow $ se $ { x_n } $ è definitivamente costante converge ad un solo punto $ p $ $\ Rightarrow {x_n } $ converge.
2 ) Sia $ X $ dotato di topologia banale. Allora $ X $ è aperto. In particolare ogni punto di $ X $ è di accumulazione $\Rightarrow {x_n } $ converge ad ogni punto di $ X $
come pensate che sia svolto? Spero di non aver fatto molti errori
Risposte
La convergenza di topologie è la convergenza di una successione (o di una rete) di topologie $\tau_\alpha$ nell'insieme $T(X) \subseteq 2^{2^X}$ delle topologie su $X$, dotato di una qualche topologia. Ed è il motivo per cui ho aperto questo thread, mi sarebbe interessato.
Tu parli della convergenza rispetto a una topologia. E' diverso.
Tu parli della convergenza rispetto a una topologia. E' diverso.
Ok, ho provveduto a modificare il titolo
1) Sì, \(\displaystyle X\) è uno spazio di Hausdorff, per cui vale il teorema di unicità del limite di successioni; ma ciò non basta per dimostrare affermazione in oggetto di studio.
2) Va bene!
2) Va bene!
Grazie per la risposta. Come posso fare per completare il punto 1?
Il punto 1 è proprio sbagliato. Se fosse vero, tu dimostreresti che tutte le successioni convergenti, in qualsiasi spazio di Hausdorff, sono definitivamente costanti. Rileggi ciò che hai scritto.
Purtroppo vedo errori profondi, credo che tu non abbia capito le definizioni fondamentali, meglio andarle subito a ristudiare.
Purtroppo vedo errori profondi, credo che tu non abbia capito le definizioni fondamentali, meglio andarle subito a ristudiare.
Grazie per la risposta. Suggerimenti per poterlo rifare?
Inizia col dimostrare che negli spazi topologici in cui vale il teorema di unicità del limite di successioni (tipo gli spazi di Hausdorff), le successioni definitivamente costanti sono convergenti al valore costante!
Grazie ancora. Ci provo
dopo aver detto che che è Hausdorff, $ { x_n } $ converge ad un unico punto, quindi $ x_n \rightarrow p$ per ogni $n in NN$ . Poiché questa proprietà è soddisfatta per ogni $ n in NN $ allora $ x_n \ rightarrow p $ definitivamente, cioè converge definitivamente a un unico punto. Ma $ p $ è un numero fissato in $ X $, quindi $ x_n $ converge definitivamente ad un numero fissato $\ Rightarrow $ converge ad un valore costante $\ Rightarrow $ $ x_n $ è definitivamente costante
Spero di non aver scritto stupidaggini.
dopo aver detto che che è Hausdorff, $ { x_n } $ converge ad un unico punto, quindi $ x_n \rightarrow p$ per ogni $n in NN$ . Poiché questa proprietà è soddisfatta per ogni $ n in NN $ allora $ x_n \ rightarrow p $ definitivamente, cioè converge definitivamente a un unico punto. Ma $ p $ è un numero fissato in $ X $, quindi $ x_n $ converge definitivamente ad un numero fissato $\ Rightarrow $ converge ad un valore costante $\ Rightarrow $ $ x_n $ è definitivamente costante
Spero di non aver scritto stupidaggini.
Calma!
Ti ricordo il teorema di unicità del limite delle successioni.
Quindi il tuo problema è il seguente: le successioni definitivamente costanti convergono? Perché a priori non lo sappiamo se la risposta è affermativa; con tutto che intuitivamente la risposta è affermativa.
Ti ricordo il teorema di unicità del limite delle successioni.
Siano \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio di Hausdorff e \(\displaystyle\{x_n\in X\}_{n\in\mathbb{N}_{\geq0}}\) una successione convergente, allora il suo limite è unico.
Quindi il tuo problema è il seguente: le successioni definitivamente costanti convergono? Perché a priori non lo sappiamo se la risposta è affermativa; con tutto che intuitivamente la risposta è affermativa.
"sira":
Grazie ancora. Ci provo
dopo aver detto che che è Hausdorff, $ { x_n } $ converge ad un unico punto, quindi $ x_n \rightarrow p$ per ogni $n in NN$ .
No, assolutamente no. Non ha senso dire che \(x_n\to p\) per ogni \(n\). Il tuo problema è proprio qui: non hai chiaro cosa significa che una successione è convergente.
Grazie ancora. Quindi $ | x_n-p | < \epsilon $ . Ma se $ x_n $ è costante $ | x_n-p | = | p-p | = 0 $ allora $ 0 = | x_n-p | <\ epsilon $ quindi le successioni costanti convergono ( quindi anche le successioni definitivamente costanti convergono)
a questo ti riferivi @j18eos?
a questo ti riferivi @j18eos?
Andrebbe quasi-bene se avessimo una metrica a disposizione...
Ma ricordi la definizione di successione convergente in uno spazio topologico?
Ma ricordi la definizione di successione convergente in uno spazio topologico?
Sì, diciamo che $ { x_n } $ converge ad un punto $ p $ se per ogni intorno $ U $ di $ p $ esiste un $ N=N (U) in NN $ tale che $ x_n in U $ per ogni $ n in N $. Allora $ x_n \ rightarrow p $ per $ n \rightarrow +oo $
"sira":Attenzione: \(\displaystyle n>N\)!
[...]per ogni $ n in N $.[...]
Ecco: ora dimostra che le successioni definitivamente costanti sono convergenti; come faresti?
Grazie per la risposta. Devo mostrare che la successione sta frequentemente in ogni intorno di p, quindi, se $ x_n in U $ e $ x_N in U $ con $ n > N $ . Ma siccome $ x_n $ è definitivamente costante, allora ogni $ x_n in U $ quindi converge
Esatto:
[list=1]
[*:186ilhl3]le successioni definitivamente costanti sono convergenti, almeno al loro valore costante;[/*:m:186ilhl3]
[*:186ilhl3]se vale il teorema di unicità del limite di successioni convergenti, questi è il valore limite.[/*:m:186ilhl3][/list:o:186ilhl3]
Tornando al tuo esercizio, essendo in uno spazio di Hausdorff: le successioni definitivamente costanti convergono al loro valore costante.
Viceversa: considera una successione convergente in uno spazio topologico "discreto"; cosa succede?
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[*:186ilhl3]le successioni definitivamente costanti sono convergenti, almeno al loro valore costante;[/*:m:186ilhl3]
[*:186ilhl3]se vale il teorema di unicità del limite di successioni convergenti, questi è il valore limite.[/*:m:186ilhl3][/list:o:186ilhl3]
Tornando al tuo esercizio, essendo in uno spazio di Hausdorff: le successioni definitivamente costanti convergono al loro valore costante.
Viceversa: considera una successione convergente in uno spazio topologico "discreto"; cosa succede?
Grazie per la risposta. Se $ x_n $ converge e il suo spazio topologico è discreto converge sempre allo stesso punto (perché il punto è intorno di sé stesso), quindi è definitivamente costante
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