Esercizio su compatti e connessi (topologia)
Salve a tutti avrei bisogno di aiuto per cercare di risolvere questo esercizio:
Dato n $ in $ N , si consideri il sottospazio $ A_n $ di R^2 definito da $ A_n $:={(x,y)$ in $ R^2 / ny=x^2} e si ponga X:= $ uuu_{n=1}^infty A_n $ . Stabilire se X è compatto e stabilire se X è connesso.
Vi dico quello che sono riuscita a fare io, prima di tutto l'insieme X è l'unione di tante parabole passanti per il punto (0,0) che per n $ rarr oo $ tendono ad avvicinarsi sempre di più all'asse x il quale però non fa parte dell'insieme. Allora questo è un insieme chiuso. Per mostrare che non è aperto basta far vedere che non è nè $ O/ $ nè R^2. Infatti (0,0) $ in $ X perchè tutte le parabole passano per quel punto, ma non è tutto R^2 perchè l'asse x non fa parte dell'insieme X. Quindi non è aperto. Adesso io direi che è limitato ma come faccio a dimostrarlo????
Per dimostrare se è connesso ho considerato due aperti U={(x,y)$ in $ R^2 / x>0} e V={(x,y)$ in $ R^2 / x<0}. le intersezioni A=X$ nn $U e B=X$ nn $V sono non vuote disgiunte tali che X=A$uu$B. Quindi X non è connesso.
Mi aiutate a capire se è giusto tutto questo oppure spiegarmi come andava fatto?? Grazie mille a chi mi risponderà.
Dato n $ in $ N , si consideri il sottospazio $ A_n $ di R^2 definito da $ A_n $:={(x,y)$ in $ R^2 / ny=x^2} e si ponga X:= $ uuu_{n=1}^infty A_n $ . Stabilire se X è compatto e stabilire se X è connesso.
Vi dico quello che sono riuscita a fare io, prima di tutto l'insieme X è l'unione di tante parabole passanti per il punto (0,0) che per n $ rarr oo $ tendono ad avvicinarsi sempre di più all'asse x il quale però non fa parte dell'insieme. Allora questo è un insieme chiuso. Per mostrare che non è aperto basta far vedere che non è nè $ O/ $ nè R^2. Infatti (0,0) $ in $ X perchè tutte le parabole passano per quel punto, ma non è tutto R^2 perchè l'asse x non fa parte dell'insieme X. Quindi non è aperto. Adesso io direi che è limitato ma come faccio a dimostrarlo????
Per dimostrare se è connesso ho considerato due aperti U={(x,y)$ in $ R^2 / x>0} e V={(x,y)$ in $ R^2 / x<0}. le intersezioni A=X$ nn $U e B=X$ nn $V sono non vuote disgiunte tali che X=A$uu$B. Quindi X non è connesso.
Mi aiutate a capire se è giusto tutto questo oppure spiegarmi come andava fatto?? Grazie mille a chi mi risponderà.
Risposte
Direi che sbagli varie cose. La mia impressione è che tu abbia idee sbagliate sulle caratteristiche che dovrebbe avere quell'insieme e che tu stia cercando di dimostrarle anche contro l'evidenza. Inoltre ho qualche dubbio sulla tua comprensione dei due concetti.
Per esempio, ti chiedi come fai a dimostrare che è limitato quando è evidente che non possa esserlo (è unione di insiemi non limitati). Siccome ti trovi in \(\mathbb{R}^n\), questo elimina la compattezza.
Inoltre non solo è connesso, ma è connesso per archi. Infatti ogni punto può essere connesso all'origine percorrendo la parabola e poi congiunto ad ogni altro percorrendone un'altra. L'errore su questo punto è che i tuoi due insiemi aperti non comprendono l'origine, che al contrario è contenuta in ogni \(A_n\).
Non ti sei inoltre resa conto del fatto che hai dimostrato che \(\displaystyle X \) non è chiuso (né ovviamente è aperto). Infatti, come hai fatto notare, la semiretta \(\displaystyle \{ y = 0 \}\cap\{ x \ge 0 \} \) è un punto di accumulazione per \(\displaystyle X \) senza farne parte. Per quanto riguarda il non essere aperto dipende dal fatto che ha interno vuoto, insomma non contiene alcuna palla aperta.
Nota che l'intersezione arbitraria di chiusi è chiusa, ma la stessa cosa non vale per le unioni numerabili
P.S.: Ti conviene inserire tra dollari tutta la formula e non solo pezzi. Il risultato visivo è molto migliore — dispositivi mobili eventualmente a parte.
Per esempio, ti chiedi come fai a dimostrare che è limitato quando è evidente che non possa esserlo (è unione di insiemi non limitati). Siccome ti trovi in \(\mathbb{R}^n\), questo elimina la compattezza.
Inoltre non solo è connesso, ma è connesso per archi. Infatti ogni punto può essere connesso all'origine percorrendo la parabola e poi congiunto ad ogni altro percorrendone un'altra. L'errore su questo punto è che i tuoi due insiemi aperti non comprendono l'origine, che al contrario è contenuta in ogni \(A_n\).
Non ti sei inoltre resa conto del fatto che hai dimostrato che \(\displaystyle X \) non è chiuso (né ovviamente è aperto). Infatti, come hai fatto notare, la semiretta \(\displaystyle \{ y = 0 \}\cap\{ x \ge 0 \} \) è un punto di accumulazione per \(\displaystyle X \) senza farne parte. Per quanto riguarda il non essere aperto dipende dal fatto che ha interno vuoto, insomma non contiene alcuna palla aperta.
Nota che l'intersezione arbitraria di chiusi è chiusa, ma la stessa cosa non vale per le unioni numerabili
P.S.: Ti conviene inserire tra dollari tutta la formula e non solo pezzi. Il risultato visivo è molto migliore — dispositivi mobili eventualmente a parte.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo