Esercizio su cilindri
Scusate se chiedo tristemente come si risolve il seguente esercizio ma non ho la minima idea di dove incominciare:
Determinare l'equazione cartesiana del cilindro avente come direttrice la circonferenza di equazioni x=o, x^2 + y^2 + z^2 = 16 e generatrici parallele alla retta x - y +1 = 0
Come ragiono per risolverlo?
Edit: ci sono arrivato, abbastanza intuitivo. Ignorate pure la mia domanda...
Determinare l'equazione cartesiana del cilindro avente come direttrice la circonferenza di equazioni x=o, x^2 + y^2 + z^2 = 16 e generatrici parallele alla retta x - y +1 = 0
Come ragiono per risolverlo?
Edit: ci sono arrivato, abbastanza intuitivo. Ignorate pure la mia domanda...
Risposte
Le generatrici parallele alla retta x-y+1=0. E z? Quanto vale?
Ops ho lasciato fuori un pezzo. La retta era definita con i piani x - y + 1= 0 e z = 2, sorry
Rilancio con un altro problema, a questo giro su un cono:
Trovare l'equaz di un cono rotondo di vertice V(-1,3,0) con asse parallelo all'asse y e passante per il punto A(0,2,1).
Che bello fare sta' roba di venerdi' sera...
Rilancio con un altro problema, a questo giro su un cono:
Trovare l'equaz di un cono rotondo di vertice V(-1,3,0) con asse parallelo all'asse y e passante per il punto A(0,2,1).
Che bello fare sta' roba di venerdi' sera...
Per un cilindro questo e' il ragionamento generale.
Siano:
1)A(u,v,w) il generico punto della curva direttrice e [f(x.y,z)=0,g(x,y,z)=0] le equazioni di quest'ultima.
2)(l,m,n) i parametri direttori delle generatrici del cilindro
La generica generatrice sara' allora la retta:
$(x-u)/l=(y-v)/m=(z-w)/n$
Eliminando u,v,w dal sistema formato da queste ultime equazioni e da quelle
della direttrice si avra' l'equazione del cilindro.
Nel caso nostro e' (l,m,n)=(1,1,0) e quindi la generatrice e':
$(x-u)/1=(y-v)/1=(z-w)/0$ e dunque il sistema in questione e':
[$x-u=y-v,z-w=0,u=0,u^2+v^2+w^2=16$]
Eliminando ,come si e' detto,(u,v,w) si ha l'equazione del cilindro:
$(x-y)^2+z^2=16$
Archimede
Siano:
1)A(u,v,w) il generico punto della curva direttrice e [f(x.y,z)=0,g(x,y,z)=0] le equazioni di quest'ultima.
2)(l,m,n) i parametri direttori delle generatrici del cilindro
La generica generatrice sara' allora la retta:
$(x-u)/l=(y-v)/m=(z-w)/n$
Eliminando u,v,w dal sistema formato da queste ultime equazioni e da quelle
della direttrice si avra' l'equazione del cilindro.
Nel caso nostro e' (l,m,n)=(1,1,0) e quindi la generatrice e':
$(x-u)/1=(y-v)/1=(z-w)/0$ e dunque il sistema in questione e':
[$x-u=y-v,z-w=0,u=0,u^2+v^2+w^2=16$]
Eliminando ,come si e' detto,(u,v,w) si ha l'equazione del cilindro:
$(x-y)^2+z^2=16$
Archimede
Per il cono il ragionamento e' grosso modo simile a quello fatto per il cilindro.
Come direttrice,essendo il cono rotondo,possiamo prendere una qualunque
circonferenza ottenuta tagliando il cono con un piano perpendicolare all'asse.
Per semplificare prendo quello passante per A e poiche' le equazioni dell'asse
sono $[x=-1,z=0]$, con qualche calcolo si ottiene che tale direttrice ha equazioni:
$[y=2,(x+1)^2+z^2=2]$
Detto allora $P(u,v,w)$ il generico punto di tale curva,le equazione di una
qualunque generatrice sono:
1) $(x+1)/(u+1)=(y-3)/(v-3)=z/w$ ,mentre deve essere 2) $[v=2,(u+1)^2+w^2=2]$
Eliminando $u,v ,w $ tra le (1) e le (2) ,si ottiene la richiesta equazione del cono:
$(x+1)^2-2(y-3)^2+z^2=0$
Archimede
Come direttrice,essendo il cono rotondo,possiamo prendere una qualunque
circonferenza ottenuta tagliando il cono con un piano perpendicolare all'asse.
Per semplificare prendo quello passante per A e poiche' le equazioni dell'asse
sono $[x=-1,z=0]$, con qualche calcolo si ottiene che tale direttrice ha equazioni:
$[y=2,(x+1)^2+z^2=2]$
Detto allora $P(u,v,w)$ il generico punto di tale curva,le equazione di una
qualunque generatrice sono:
1) $(x+1)/(u+1)=(y-3)/(v-3)=z/w$ ,mentre deve essere 2) $[v=2,(u+1)^2+w^2=2]$
Eliminando $u,v ,w $ tra le (1) e le (2) ,si ottiene la richiesta equazione del cono:
$(x+1)^2-2(y-3)^2+z^2=0$
Archimede
Grazie mille Archimede. L'esercizio sul cono l'ho risolto prendendo come direttrice la circ formata dal piano y=2 (come te) e dalla sfera di centro V e raggio AV. Tu che sfera hai considerato?
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