Esercizio su chiusura e insieme denso
Sia $(X,t)$ uno spazio top. e sia $D$ un suo sottospazio con $D$ denso in $X$. Provare che se $U$ è intorno di $x$ in $D$ allora $\bar{U}$ è intorno di $x$ in $X$.
Dopo 4 ore di tentativi mi sto convincendo che non sia vero...
Io so che $U$ è intorno di $x$ in $D$ se contiene un aperto $A$ (in $D$) contentente $x$.
Allora scrivo che $U=(AnnD)uuC$, dove $A$ è un aperto di $X$ e quindi $AnnD$ lo è in $D$ e $C$ è un sottoinsieme qualunque di $D$, con $x\inAnnD$.
Quindi $\bar{U}=\bar{(AnnD)uuC}=\bar{AnnD}uu\bar{C}$
Da questa però non riesco ad andare avanti, ovvero ricavo sempre che $\bar{U}\subseteq\bar{A}$ mentre io vorrei dimostrare $\bar{A}\subseteq\bar{U}$ o che $A\subseteq\bar{U}$, o perlomeno che esista un altro aperto $B$ contenuto in $\bar{U}$...
Ho già provato a scrivere la chiusura attraverso il derivato e la frontiera, ma ritorno sempre a questo risultato...
Dopo 4 ore di tentativi mi sto convincendo che non sia vero...
Io so che $U$ è intorno di $x$ in $D$ se contiene un aperto $A$ (in $D$) contentente $x$.
Allora scrivo che $U=(AnnD)uuC$, dove $A$ è un aperto di $X$ e quindi $AnnD$ lo è in $D$ e $C$ è un sottoinsieme qualunque di $D$, con $x\inAnnD$.
Quindi $\bar{U}=\bar{(AnnD)uuC}=\bar{AnnD}uu\bar{C}$
Da questa però non riesco ad andare avanti, ovvero ricavo sempre che $\bar{U}\subseteq\bar{A}$ mentre io vorrei dimostrare $\bar{A}\subseteq\bar{U}$ o che $A\subseteq\bar{U}$, o perlomeno che esista un altro aperto $B$ contenuto in $\bar{U}$...
Ho già provato a scrivere la chiusura attraverso il derivato e la frontiera, ma ritorno sempre a questo risultato...
Risposte
up
Non ho freschissima la topologia, ma ci voglio provare.
D'accordo con quello che hai scritto finora; possiamo supporre che $C$ sia l'insieme vuoto (visto che può essere qualsiasi), così ci resta da dimostrare che $A sube bar{U} = bar{A nn D}$.
Le seguenti due relazioni sono piuttosto ovvie:
$ D = (A nn D) uu [(X-A) nn D]$
$ bar{D} = bar{A nn D} uu bar{(X-A) nn D} = X$
Supponiamo per assurdo che esista $y in A$ ma $y notin bar{A nn D}$.
Se $y in D$, allora $y in A nn D sube bar{A nn D}$; dunque deve essere $y notin D$.
Allora $y notin X-A$, $y notin D$, ma $y in bar{(X-A) nn D}$, dunque $y$ è punto d'accumulazione sia per $X-A$ che per $D$.
Ma questo è in contrasto col fatto che $A$ è aperto, per cui $y$ deve essere interno ad $A$.
E' possibile che nella parte finale mi sia confuso e abbia usato qualche proprietà valida in $RR^n$ ma non in generale, non avendo mai avuto a che fare con altri spazi topologici. In caso, spero che qualcuno lo faccia notare.
D'accordo con quello che hai scritto finora; possiamo supporre che $C$ sia l'insieme vuoto (visto che può essere qualsiasi), così ci resta da dimostrare che $A sube bar{U} = bar{A nn D}$.
Le seguenti due relazioni sono piuttosto ovvie:
$ D = (A nn D) uu [(X-A) nn D]$
$ bar{D} = bar{A nn D} uu bar{(X-A) nn D} = X$
Supponiamo per assurdo che esista $y in A$ ma $y notin bar{A nn D}$.
Se $y in D$, allora $y in A nn D sube bar{A nn D}$; dunque deve essere $y notin D$.
Allora $y notin X-A$, $y notin D$, ma $y in bar{(X-A) nn D}$, dunque $y$ è punto d'accumulazione sia per $X-A$ che per $D$.
Ma questo è in contrasto col fatto che $A$ è aperto, per cui $y$ deve essere interno ad $A$.
E' possibile che nella parte finale mi sia confuso e abbia usato qualche proprietà valida in $RR^n$ ma non in generale, non avendo mai avuto a che fare con altri spazi topologici. In caso, spero che qualcuno lo faccia notare.
Funziona!!! Grazie infinite, era diventato un chiodo fisso questo esercizio...
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