Esercizio su cambiamento di base polinomiale
Sia $V = R_2[t]$ lo spazio dei polinomi di grado $<=2$ e $f : V \to V$ l'operatore lineare definito da $f(a_0+a_1t+a_2t^2) = a_0+a_1+(a_0+a_1+a_2)t+a_2t^2$
Si determini la matrice $A =_B[f]_B$ dove $B = (1,t,t^2)$.
Mi sono imbattuto in questo esercizio e non sò come procedere per il cambiamento di base.. Qualcuno può aiutarmi grazie
Si determini la matrice $A =_B[f]_B$ dove $B = (1,t,t^2)$.
Mi sono imbattuto in questo esercizio e non sò come procedere per il cambiamento di base.. Qualcuno può aiutarmi grazie
Risposte
Se qualcuno può aiutarmi che il 23 ho l'appello di matematica glie ne sarei grato ..
\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)
che passaggi hai fatto? se non ti da fastidio me li puoi scrivere..
Ho proceduto come segue.
Calcolo mediante la f le immagini delle componenti della base B:
\(\begin{cases}f(1)=1+t\\f(t)=1+t\\f(t^2)=t+t^2\end{cases}\)
Se ho interpretato bene, si deve passare dalla base B del dominio alla medesima base B del codominio.
Pertanto esprimo le immagini prima trovate in funzione delle componenti della base B ed ho :
\( \begin{cases}f(1)=1+t=1(1)+1(t)+0(t^2)\\f(t)=1+t=1(t)+1(t)+0(t^2)\\f(t^2)=t+t^2=0(1)+1(t)+1(t^2) \end{cases}\)
I coefficienti di queste ultime espressioni sono le colonne della matrice A :
\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)
Calcolo mediante la f le immagini delle componenti della base B:
\(\begin{cases}f(1)=1+t\\f(t)=1+t\\f(t^2)=t+t^2\end{cases}\)
Se ho interpretato bene, si deve passare dalla base B del dominio alla medesima base B del codominio.
Pertanto esprimo le immagini prima trovate in funzione delle componenti della base B ed ho :
\( \begin{cases}f(1)=1+t=1(1)+1(t)+0(t^2)\\f(t)=1+t=1(t)+1(t)+0(t^2)\\f(t^2)=t+t^2=0(1)+1(t)+1(t^2) \end{cases}\)
I coefficienti di queste ultime espressioni sono le colonne della matrice A :
\(A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}\)
grazie mille.. In poche parole per ricavare le immagini delle componenti di B hai sostituito in successione:
per $f(1) -> a_0=1$
per $f(t) -> a_1=1$
per $f(t^2) -> a_2=1$
e in seguito svolti i calcoli sull'operatore.. grazie ancora
In poche parole per ricavare le immagini delle componenti di B hai sostituito in successione:per $f(1) -> a_0=1$
per $f(t) -> a_1=1$
per $f(t^2) -> a_2=1$
e in seguito svolti i calcoli sull'operatore.. grazie ancora
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