Esercizio su cambiamenti di base
Ciao.. eccomi di nuovo qui 
Ho questo esercizio che riuscirei anche a risolvere ma vorrei capire cosa diavolo sto facendo.
Sia $F:R^4->R^4$ l'applicazione lineare definita da:
$F((x_1,x_2,x_3,x_4))=(x_1-2x_2+x_4,x_4-x_3,x_1+3x_2-x_3)$
Sia $B$ la base canonica di $R^4$ e sia $C={(1,2,3,4),(0,2,3,4),(0,0,3,4),(0,0,0,4)}$ un'altra base. Determinare le matrici del cambiamento di base:
- da B a B, da B a C, da C a B, da C a C
Allora la matrice del cambiamento di base da B a B è la matrice che ha per colonne le coordinate delle immagini devi vettori di B:
$((1,-2,0,1),(0,0,-1,1),(0,1,-1,0),(1,3,-1,0))$
Adesso per trovare quella che mi porta da C a B ho dei dubbi, perché non so che ragionamento usare:
- In un esercizio dove mi si chiedeva di calcolare proprio la matrice di cambiamento dalla base E a una base C veniva fatto lo stesso procedimento che ho appena scritto sopra
- In altri esercizi, invece, seguivo uno schema dove componevo la F a destra e a sinistra per l'identità e poi calcolavo ogni vettore esprimendolo tramite la nuova base.
Vorrei sapere anche se il procedimento cambia se io parto da una base piuttosto che dalla base canonica. Grazie.
Ho questo esercizio che riuscirei anche a risolvere ma vorrei capire cosa diavolo sto facendo.
Sia $F:R^4->R^4$ l'applicazione lineare definita da:
$F((x_1,x_2,x_3,x_4))=(x_1-2x_2+x_4,x_4-x_3,x_1+3x_2-x_3)$
Sia $B$ la base canonica di $R^4$ e sia $C={(1,2,3,4),(0,2,3,4),(0,0,3,4),(0,0,0,4)}$ un'altra base. Determinare le matrici del cambiamento di base:
- da B a B, da B a C, da C a B, da C a C
Allora la matrice del cambiamento di base da B a B è la matrice che ha per colonne le coordinate delle immagini devi vettori di B:
$((1,-2,0,1),(0,0,-1,1),(0,1,-1,0),(1,3,-1,0))$
Adesso per trovare quella che mi porta da C a B ho dei dubbi, perché non so che ragionamento usare:
- In un esercizio dove mi si chiedeva di calcolare proprio la matrice di cambiamento dalla base E a una base C veniva fatto lo stesso procedimento che ho appena scritto sopra
- In altri esercizi, invece, seguivo uno schema dove componevo la F a destra e a sinistra per l'identità e poi calcolavo ogni vettore esprimendolo tramite la nuova base.
Vorrei sapere anche se il procedimento cambia se io parto da una base piuttosto che dalla base canonica. Grazie.
Risposte
Ti consiglio di correggere l'applicazione lineare dal momento che ha solo tre componenti invece di quattro.
Non ho capito se chiedi la matrice del cambiamento di base o anche la matrice della trasformazione rispetto a quelle basi.
a) Base canonica quindi la matrice della trasformazione la vedi direttamente dalla trasformazione stessa, come hai scritto tu.
b) da C a B: matrice della trasformazione ha semplicemente come colonne i vettori della base C.
c) da B a C: beh fai l'inversa di quella che ti ho detto al punto b).
d) da C a C: qui intendi la matrice della trasformazione: chiama A la matrice della trasformazione rispetto alla base canonica (quella del punto a) per intenderci) e poi la matrice della trasformazione rispetto alla base C è: $B^-1AB$ dove B è la matrice del punto b).
Ciao.
Non ho capito se chiedi la matrice del cambiamento di base o anche la matrice della trasformazione rispetto a quelle basi.
a) Base canonica quindi la matrice della trasformazione la vedi direttamente dalla trasformazione stessa, come hai scritto tu.
b) da C a B: matrice della trasformazione ha semplicemente come colonne i vettori della base C.
c) da B a C: beh fai l'inversa di quella che ti ho detto al punto b).
d) da C a C: qui intendi la matrice della trasformazione: chiama A la matrice della trasformazione rispetto alla base canonica (quella del punto a) per intenderci) e poi la matrice della trasformazione rispetto alla base C è: $B^-1AB$ dove B è la matrice del punto b).
Ciao.
Chiedevo solamente la matrice della trasformazione rispetto a quelle basi. Io quella da B a C l'avevo trovata facendo questo procedimento:
- Compongo la F a destra per l'identità e poi la calcolo così:
$RR^4->RR^4$
$e_1 -> e_1=av_1+bv_2+cv_3+dv_4=(a,2a+2b,3a+3b+3c,4a+4b+4c+4d)=(1,-1,0,0)$
$e_2 -> e_2=av_1+bv_2+cv_3+dv_4 ... $ e così via
- Alla fine dei conti mi viene fuori:
$((1,0,0,0),(-1,1/2,0,0),(0,-1/2,1/3,0),(0,0,-1/3,1/4))$
Quindi se io faccio l'inversa di quella da C a B dovrei ottenere questa giusto?
Vorrei capire se il procedimento che hai scritto tu è valido sempre (nel caso di endomorfismi).
Grazie.
- Compongo la F a destra per l'identità e poi la calcolo così:
$RR^4->RR^4$
$e_1 -> e_1=av_1+bv_2+cv_3+dv_4=(a,2a+2b,3a+3b+3c,4a+4b+4c+4d)=(1,-1,0,0)$
$e_2 -> e_2=av_1+bv_2+cv_3+dv_4 ... $ e così via
- Alla fine dei conti mi viene fuori:
$((1,0,0,0),(-1,1/2,0,0),(0,-1/2,1/3,0),(0,0,-1/3,1/4))$
Quindi se io faccio l'inversa di quella da C a B dovrei ottenere questa giusto?
Vorrei capire se il procedimento che hai scritto tu è valido sempre (nel caso di endomorfismi).
Grazie.
"Manugal":
Vorrei capire se il procedimento che hai scritto tu è valido sempre (nel caso di endomorfismi).
Certo.
Però non ho ancora capito perché ci sono tutti questi metodi. Cioè ti ripeto ad esempio in quest'altro esercizio:
$F:R^3->R^3$
$F(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_3,-x_2-x_3,x_1+4x_2-x_3)$
Trovare la matrice della trasformazione dalla base C alla base B con B base canonica e $C={(1,0,0),(1,0,1),(0,1,1)}$
Quindi come vedi è analogo a questo. Qui la nostra professoressa per trovare la matrice non ha preso direttamente i vettori della base C e li ha messi per colonne, ma ha preso le immagini dei vettori della base C e poi quelli li ha messi per colonne. Quindi la matrice era venuta:
$((1,3,2),(-1,-1,-2),(5,0,3))$
Inoltre per calcolare la matrice da C a C, ha composto la F a destra con l'identità:
$RR^3->RR^3->RR^3$
.........$e_i->e_i=av_1+bv_2+cv_3=(a+b,a+c,b+c)$
Facendo questi calcoli ha trovato la matrice che va da B a C (non capisco perché ha fatto così per trovarla). E poi ha moltiplicato quest'ultima matrice per quella scritta sopra e ha trovato così la matrice da C a C.
Quindi come vedi è un procedimento del tutto diverso e non capisco perché fa così.
Grazie.
$F:R^3->R^3$
$F(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_3,-x_2-x_3,x_1+4x_2-x_3)$
Trovare la matrice della trasformazione dalla base C alla base B con B base canonica e $C={(1,0,0),(1,0,1),(0,1,1)}$
Quindi come vedi è analogo a questo. Qui la nostra professoressa per trovare la matrice non ha preso direttamente i vettori della base C e li ha messi per colonne, ma ha preso le immagini dei vettori della base C e poi quelli li ha messi per colonne. Quindi la matrice era venuta:
$((1,3,2),(-1,-1,-2),(5,0,3))$
Inoltre per calcolare la matrice da C a C, ha composto la F a destra con l'identità:
$RR^3->RR^3->RR^3$
.........$e_i->e_i=av_1+bv_2+cv_3=(a+b,a+c,b+c)$
Facendo questi calcoli ha trovato la matrice che va da B a C (non capisco perché ha fatto così per trovarla). E poi ha moltiplicato quest'ultima matrice per quella scritta sopra e ha trovato così la matrice da C a C.
Quindi come vedi è un procedimento del tutto diverso e non capisco perché fa così.
Grazie.
Quando scrivi la matrice di un applicazione lineare le colonne sono sempre le immagini dei vettori della base scelta nello spazio di partenza, ora le immagini dei vettori sono ancora vettori anche nello spazio d'arrivo sceglierai una base e scriverai i vettori come combinazione lineare dei vettori della base. Così facendo ottieni la matrice della trasformazione nelle basi che hai scelto. se vuoi cambiare base in uno dei due spazi dovrai moltiplicare a destra (se cambi nello spazio di partenza) o a sinistra (se cambi nello spazio d'arrivo) per le opportune matrici dei cambiamenti di base.
"Manugal":
Però non ho ancora capito perché ci sono tutti questi metodi. Cioè ti ripeto ad esempio in quest'altro esercizio:
$F:R^3->R^3$
$F(x_1,x_2,x_3)=(x_1+2x_3,-x_2-x_3,x_1+4x_2-x_3)$
Trovare la matrice della trasformazione dalla base C alla base B con B base canonica e $C={(1,0,0),(1,0,1),(0,1,1)}$
Quindi come vedi è analogo a questo. Qui la nostra professoressa per trovare la matrice non ha preso direttamente i vettori della base C e li ha messi per colonne, ma ha preso le immagini dei vettori della base C e poi quelli li ha messi per colonne. Quindi la matrice era venuta:
$((1,3,2),(-1,-1,-2),(5,0,3))$
Inoltre per calcolare la matrice da C a C, ha composto la F a destra con l'identità:
$RR^3->RR^3->RR^3$
.........$e_i->e_i=av_1+bv_2+cv_3=(a+b,a+c,b+c)$
Facendo questi calcoli ha trovato la matrice che va da B a C (non capisco perché ha fatto così per trovarla). E poi ha moltiplicato quest'ultima matrice per quella scritta sopra e ha trovato così la matrice da C a C.
Quindi come vedi è un procedimento del tutto diverso e non capisco perché fa così.
Grazie.
Cerchiamo di risolverlo:
Matrice di trasformazione rispetto alla base canonica: $A=((1,0,2),(0,-1,-1),(1,4,-1))$
Matrice di passaggio dalla nuova base C alla vecchia base (canonica): $B=((1,1,0),(0,0,1),(0,1,1))$ (questo lo fai nello spazio di partenza)
Ora nello spazio di arrivo devi andare dalla base canonica alla nuova base (che è sempre la stessa C, dal momento che hai un endomorfismo e tieni sempre le basi uguali nei due spazi uguali): quindi fai semplicemente $B^-1$
Ora, ti manca solo la matrice della trasformazione dalla nuova base alla nuova base (da C a C): $B^-1AB$
Forse quello che intendi tu e che intende la tua prof è una cosa diversa. So che spesso si fa confusione dal momento che si usano due tipi di notazione: la trasformazione della base e la trasformazione delle coordinate. Io ho usato la trasformazione delle coordinate (che chiamo matrice del cambiamento di base). E questo mi fa dire che posso usare le formule che ho scritto. C'è una relazione fra la trasformazione della base e delle coordinate. Data una di queste, l'altra si trova facendo l'inversa della trasposta. Controllala con la matrice della tua prof.
Ciao.
Ok, quello che hai fatto tu l'ho capito. Se faccio l'inversa di: $B=((1,1,0),(1,0,1),(0,1,1))$ (mi ero sbagliato a scrivere C, il primo vettore è (1,1,0) non (1,0,0)) mi viene la matrice $((1/2,1/2,-1/2),(1/2,-1/2,1/2),(-1/2,1/2,1/2))$ che è, secondo quanto scritto dalla prof., la matrice della trasformazione dalla base B alla base C, che la mia prof ha trovato componendo a destra per l'identità (come ti ho scritto sopra). Però non mi è chiaro perché cioè la prof ci ha sempre detto che le colonne della matrice della trasformazione sono le immagini dei vettori di una base. Quindi seguendo questo ragionamento, la matrice che va da C a B è quella che ti ho scritto sopra cioè: $((1,3,2),(-1,-1,-2),(5,0,3))$; quindi non capisco la tua matrice da C a B cosa sia. La matrice del cambiamento di base (quindi non della trasformazione)? Ecco allora non ho capito cosa cambia tra le due. Inoltre $B^-1AB$ se devo calcolare la matrice che va da C a C non dovrebbe essere:
matrice della trasformazione da C a B * matrice della trasformazione da B a B * matrice della trasformazione da B a C (in questo ordine)?
Inoltre come faccio a verificare che quella che ho trovato è esatta?
matrice della trasformazione da C a B * matrice della trasformazione da B a B * matrice della trasformazione da B a C (in questo ordine)?
Inoltre come faccio a verificare che quella che ho trovato è esatta?
"Manugal":
matrice della trasformazione da C a B * matrice della trasformazione da B a B * matrice della trasformazione da B a C (in questo ordine)?
ATTENTO!!! È come se fosse una composizione tra funzioni!!! Prima la parte "destra" e poi la parte "sinistra".
Ok, capito. Per le altre domande sopra?
"Manugal":
Però non mi è chiaro perché cioè la prof ci ha sempre detto che le colonne della matrice della trasformazione sono le immagini dei vettori di una base.
Non ti è chiaro la differenza secondo me tra matrice della trasformazione e matrice del cambiamento di base.
Le colonne della matrice della trasformazione sono le immagini dei vettori di base: pensa a $e_1->f(e_1)=w_1$
"Manugal":
Quindi seguendo questo ragionamento, la matrice che va da C a B è quella che ti ho scritto sopra cioè: $((1,3,2),(-1,-1,-2),(5,0,3))$; quindi non capisco la tua matrice da C a B cosa sia. La matrice del cambiamento di base (quindi non della trasformazione)? Ecco allora non ho capito cosa cambia tra le due. Inoltre $B^-1AB$ se devo calcolare la matrice che va da C a C non dovrebbe essere:
La matrice del cambiamento di base lo fai in uno spazio vettoriale per volta, prima in quello di partenza, quinda da C a B (canonica) mentre in quello di arrivo fai da B a C (quindi la matrice sarà l'inversa di quella da C a B solo in questo caso visto che hai un endomorfismo).
Ora la matrice della trasformazione unisce i due spazi vettoriali di partenza e di arrivo e ora hai come basi dei due spazi la base C.
Ora fai la matrice della trasformazione da C a C tramite la formula $B^-1AB$ dove A è la matrice rispetto alla base canonica. Spero tu sappia che cmq la base C è espressa sempre rispetto alla base canonica.
Ciao.
Ok, ma allora visto che la matrice $B$ che hai scritto tu è la matrice del cambiamento di base da C a B, mentre quella che ho scritto io è la matrice della trasformazione lineare da C a B, come faccio per passare dalla tua alla mia? Cioè ci sarà un legame credo.
"Manugal":
. Quindi seguendo questo ragionamento, la matrice che va da C a B è quella che ti ho scritto sopra cioè: $((1,3,2),(-1,-1,-2),(5,0,3))$; quindi non capisco la tua matrice da C a B cosa sia. La matrice del cambiamento di base (quindi non della trasformazione)?
Ecco qui ritorno al discorso di prima: la mia B è la matrice del cambiamento di base nello spazio di partenza da C a B. Ora la tua matrice invece che hai scritto sopra è la matrice della trasformazione da C a B e cosa significa? Significa che C è la base dello spazio di partenza mentre B è la base dello spazio di arrivo, cioè metto due basi diverse nei due spazi (che sono uguali). Ok?
In poche parole come faccio a trovare SUBITO la matrice che hai scritto sopra? Facile, fai semplicemente: $AB$
Ok? Occhio che penso che hai sbagliato un elemento, seconda riga ultimo elemento penso sia 0 e non -2...
Se non ti è chiaro chiedi. Ciao.
Si si infatti facendo $AB$ mi viene fuori proprio la matrice della trasformazione da C a B. Ecco perché poi la professoressa per calcolare la matrice che va da C a C ha preso la matrice $B'$ che è quella della trasformazione da B a C e l'ha moltiplicata per la matrice che va da C a B (cioè $AB$). Invece se uso le matrici del cambiamento di base devo fare $B^-1AB$. Cmq la matrice è giusta infatti facendo $AB$ viene quella che ho scritto io. Quindi se io uso direttamente le matrici della trasformazione diciamo da C a B (non quella del cambiamento quindi), per trovare quella da B a C (sempre della trasformazione) devo seguire il procedimento della mia prof (cioè che compone a destra per l'identità e trova la matrice), giusto? Altrimenti se uso le matrici del cambiamento di base il metodo è quello tuo. Dimmi se sbaglio.
"Manugal":
Si si infatti facendo $AB$ mi viene fuori proprio la matrice della trasformazione da C a B. Ecco perché poi la professoressa per calcolare la matrice che va da C a C ha preso la matrice $B'$ che è quella della trasformazione da B a C e l'ha moltiplicata per la matrice che va da C a B (cioè $AB$). Invece se uso le matrici del cambiamento di base devo fare $B^-1AB$. Cmq la matrice è giusta infatti facendo $AB$ viene quella che ho scritto io.
Però la matrice $B'$ che hai scritto deve essere uguale a $B^-1$
"Manugal":
Quindi se io uso direttamente le matrici della trasformazione diciamo da C a B (non quella del cambiamento quindi), per trovare quella da B a C (sempre della trasformazione) devo seguire il procedimento della mia prof (cioè che compone a destra per l'identità e trova la matrice), giusto? Altrimenti se uso le matrici del cambiamento di base il metodo è quello tuo. Dimmi se sbaglio.
Io farei semplicemente così per la matrice della trasformazione (e non della base) da B (base di partenza) a C (base di arrivo): $B^-1A$ senza fare quel procedimento della tua prof.
Fammi sapere. Ciao.
Io farei semplicemente così per la matrice della trasformazione (e non della base) da B (base di partenza) a C (base di arrivo): $B^-1A$ senza fare quel procedimento della tua prof.
Ma $B^-1$ sarebbe la matrice $AB$? E $A$ la matrice nella base canonica?
"Manugal":Io farei semplicemente così per la matrice della trasformazione (e non della base) da B (base di partenza) a C (base di arrivo): $B^-1A$ senza fare quel procedimento della tua prof.
Ma $B^-1$ sarebbe la matrice $AB$? E $A$ la matrice nella base canonica?
Se hai capito da C a B dovresti capire anche da B a C, infatti ho semplicemente cambiato di posto la matrice B giustamente. E cambiandola di posto fai l'inversa. A è nella base canonica certo! $B^-1$ è la matrice del cambiamento di base nello spazio di arrivo da C a B, mentre $B^-1A$ è la matrice della trasformazione fra i due spazi da B a C. Ovvio quindi che $B^-1$ è tutt'altra cosa che $AB$.
Ciao.
Scusa vorrei postare un altro esercizio sempre per capire questo fatto.
Consideriamo $F:RR^3->RR^3$ dove è stata fissata la base $B={v_1=(2,1,0),v_2=(0,-1,1),v_3=(3,0,1)}$ e dove c'è questa associazione:
$v_1->3v_1$
$v_2->-v_2$
$v_3->0_v$
Allora: la matrice associata alla trasformazione lineare nella base B è $A^(B,B)=((3,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$. Ora vorrei passare alla base canonica (sia in partenza che in arrivo). La matrice $C=((2,0,3),(1,-1,0),(0,1,1))$ è la matrice della trasformazione lineare da B a E o del cambiamento di base da B a E? Dovrebbe essere del cambiamento di base. Se voglio quindi trovare quella della trasformazione lineare da B a E?
Consideriamo $F:RR^3->RR^3$ dove è stata fissata la base $B={v_1=(2,1,0),v_2=(0,-1,1),v_3=(3,0,1)}$ e dove c'è questa associazione:
$v_1->3v_1$
$v_2->-v_2$
$v_3->0_v$
Allora: la matrice associata alla trasformazione lineare nella base B è $A^(B,B)=((3,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$. Ora vorrei passare alla base canonica (sia in partenza che in arrivo). La matrice $C=((2,0,3),(1,-1,0),(0,1,1))$ è la matrice della trasformazione lineare da B a E o del cambiamento di base da B a E? Dovrebbe essere del cambiamento di base. Se voglio quindi trovare quella della trasformazione lineare da B a E?
"Manugal":
Allora: la matrice associata alla trasformazione lineare nella base B è $A^(B,B)=((3,0,0),(0,-1,0),(0,0,0))$. Ora vorrei passare alla base canonica (sia in partenza che in arrivo). La matrice $C=((2,0,3),(1,-1,0),(0,1,1))$ è la matrice della trasformazione lineare da B a E o del cambiamento di base da B a E? Dovrebbe essere del cambiamento di base. Se voglio quindi trovare quella della trasformazione lineare da B a E?
La questione è talmente ovvia che la gente si sbaglia quasi sempre..
Allora, se hai un vettore espresso con le coordinate rispetto alla base $B$, ad esempio $(2,4,7)$ cosa vuol dire?
Stiamo parlando del vettore, espresso rispetto alla base canonica:
$2 \cdot (2,0,3) + 4 \cdot (1,-1,0) + 7 \cdot (0,1,1)$.
In definitiva, per avere l'espressione della matrice rispetto alla base canonica (in partenza e in arrivo):
$C \cdot A^{B,B} \cdot C^(-1)$
per capire meglio vedila così:
all'inizio ho un vettore espresso rispetto alla base canonica ($E$);
devo calcolare quali coordinate ha rispetto alla base $B$, e mi serve l'inversa
della matrice $C$;
poi faccio la trasformazione rispetto alla base $B$ (rappresentata dalla matrice $A^{B,B}$);
infine devo tradurre il risultato ottenuto riespetto alla base canonica, quindi moltiplico per $C$.
$C \cdot A^{B,B} \cdot C^(-1)$
per capire meglio vedila così:
all'inizio ho un vettore espresso rispetto alla base canonica ($E$);
devo calcolare quali coordinate ha rispetto alla base $B$, e mi serve l'inversa
della matrice $C$;
poi faccio la trasformazione rispetto alla base $B$ (rappresentata dalla matrice $A^{B,B}$);
infine devo tradurre il risultato ottenuto riespetto alla base canonica, quindi moltiplico per $C$.
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