Esercizio su calcolo di circonferenze su un piano dato
Problema al punto b) e c)
Siano dati il piano $\alpha:y+z=0$ e il punto $A(0,1,-1)$.
a) verificare che $A in alpha$ e scrivere l'equazione di una retta $r$ contenuta in $alpha$ e passante per $A$.
b) quante circonferenze ci sono su %alpha% aventi raggio 1 e tangenti in A a r? Scriverne una a scelta.
c) determinare infine il luogo descritto dai centri di tali circonferenze, al variare della retta $r$ per $A$ contenuta in $alpha$
Siano dati il piano $\alpha:y+z=0$ e il punto $A(0,1,-1)$.
a) verificare che $A in alpha$ e scrivere l'equazione di una retta $r$ contenuta in $alpha$ e passante per $A$.
b) quante circonferenze ci sono su %alpha% aventi raggio 1 e tangenti in A a r? Scriverne una a scelta.
c) determinare infine il luogo descritto dai centri di tali circonferenze, al variare della retta $r$ per $A$ contenuta in $alpha$
Risposte
Secondo te, intuitivamente quante ce ne sono. Osserva che il centro giace sulla retta per $A$ perpendicolare a $r$, che ovviamente deve giacere su $alpha$. Quante ne sono di queste rette? 
Una volta fatto questo hai praticamente finito!
Anche il terzo punto è abbastanza intuitivo se provi a disegnare la situazione, te lo consiglio. La retta $r$ apparterrà al fascio di centro $A$, e poichè tutto si svolge su un piano, puoi immaginare questo problema in $E_3$ come una situazione particolare di $E_2$ che ti semplifica di molto la situazione.
Fammi sapere se ti è venuta qualche idea altrimenti provo a darti qualche altro spunto.
Una volta fatto questo hai praticamente finito! Anche il terzo punto è abbastanza intuitivo se provi a disegnare la situazione, te lo consiglio. La retta $r$ apparterrà al fascio di centro $A$, e poichè tutto si svolge su un piano, puoi immaginare questo problema in $E_3$ come una situazione particolare di $E_2$ che ti semplifica di molto la situazione.
Fammi sapere se ti è venuta qualche idea altrimenti provo a darti qualche altro spunto.
Mistake, grazie mille!! Si tratta di un esercizio di esame e mi sembrava troppo semplice. Di circonferenze che sono tangenti alla retta r nel punto A direi che ce ne sono infinite, tutte giacenti sul piano $alpha$; scriverne una a scelta non dovrebbe essere un problema.
per quanto riguarda il terzo punto, i centri delle infinite circonferenze producono una circonferenza con centro proprio in A e di raggio 1 dato che, come hai detto, al variare della retta per A avrei un fascio di rette.
Dimmi se il modo di ragionare è corretto, mi sei stato utilissimo, grazie
Matteo
per quanto riguarda il terzo punto, i centri delle infinite circonferenze producono una circonferenza con centro proprio in A e di raggio 1 dato che, come hai detto, al variare della retta per A avrei un fascio di rette.
Dimmi se il modo di ragionare è corretto, mi sei stato utilissimo, grazie
Matteo
Il secondo punto è giusto, ma io il primo penso di no.
Io farei così. La retta $r$ è una retta fissata per $A$. Determina il piano $beta$ per $A$ perpendicolare ad $r$. Considera la retta $alpha nn beta$ il centro giacerà su questa retta. Ora su questa retta i punti che hanno distanza da $A$ pari ad $1$, sono 2, uno alla sua destra e l'altro alla sua sinistra.
Pertanto le circonferenze cercate saranno 2.
Ovviamente se fai variare $r$, nel fascio di centro $A$ sono infinite, ma se fissi quest'ultima le circonferenze sono 2.
Io farei così. La retta $r$ è una retta fissata per $A$. Determina il piano $beta$ per $A$ perpendicolare ad $r$. Considera la retta $alpha nn beta$ il centro giacerà su questa retta. Ora su questa retta i punti che hanno distanza da $A$ pari ad $1$, sono 2, uno alla sua destra e l'altro alla sua sinistra.
Pertanto le circonferenze cercate saranno 2.
Ovviamente se fai variare $r$, nel fascio di centro $A$ sono infinite, ma se fissi quest'ultima le circonferenze sono 2.
Bene perfetto, hai ragione, si tratta di due circonferenze altrimenti non avrei solo la tangenza della circonferenza in un punto della retta ma in due punti.
Chiarissimo
Grazie mille
Chiarissimo
Grazie mille
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