Esercizio su Basi e Dimensioni di sottospazi vettoriali

[Anasclero]

Buonasera a tutti e sopratutto buona domenica, famigerato giorno di riposo

Se possibile volevo qualche chiarimento in merito a questa tipologia di esercizio. Partiamo dal testo:

Nello spazio vettoriale R^4 si considerino i seguenti sottospazi:
V:=<(2,-4,1,-3), (0,1,1,3), (-2,1,2,6), (4,1,1,1), (-4,-6,0,-4)
W:={(x1,x2,x3,x4) $ in $ R^4 | x2+2x3+2x4=x1+x4=0}

Determinare:
a) Si determini, se esiste, una base di V e la sua dimensione;
b) Si determini, se esiste, una base di W e la sua dimensione;
c) Si determini, se esiste, una base di V+W e V $ nn $ W le relative dimensioni;
d) V e W sono a somma diretta? Perchè?


SVOLGIMENTO

a)

Parto con lo scrivere la matrice incompleta associata A:

$ ( ( 2 , 0 , -2 , 4 , -4 ),( -4 , 1 , 1 , 1 , -6 ),( 1 , 1 , 2 , 1 , 0 ),( -3 , 3 , 6 , 1 , -4 ) ) $

Eseguendo le seguenti operazioni sulle colonne:

C4 $rarr$C4+C5
C4 $rarr$C4-C1
C3 $rarr$C3 -2C2

Ottengo la seguente matrice:

$ ( ( 2 , 0 , -2 , -2 , -4 ),( -4 , 1 , -1 , -1 , -6 ),( 1 , 1 , 0 , 0 , 0 ),( -3 , 3 , 0 , 0 , -4 ) ) $

Ed è evidente come i vettori v3 e v4 siano direttam. propor. tra di loro, decido di tagliare fuori v3:

$ ( ( 2 , 0 , -2 , -4 ),( -4 , 1 ,-1 , -6 ),( 1 , 1 , 0 , 0 ),( -3 , 3 , 0 ,-4 ) ) $

Il rk(A) $<= $ 4, verifico che i vettori siano linearmente indipendenti (LI) calcolando il determinante con il metodo di Laplace sulla 3 colonna:

det(A)= 8-24=-16
Allora $rArr$ rk(A)=4

$ B(V)={(2,-4,1,-3),(0,1,1,3),(4,1,1,1),(-4,-6,0-4)} $
$dim(V)=4$


b)

$ { ( x2+2x3-2x1=0 ),( x4=-x1 ):} $

$W= {(x1,x2,x3,-x1) in R^4 | x1,x2,x3 in R} $

Per combinazione lineare ottengo la base di W:

$ B(W)= {(1,0,0,-1), (0,1,0,0), (0,0,1,0)} $
$dim(W)=3 $

c)


$V+W= B(V) uu B(W) $

rk(A) $<=$ 4 quindi elimino i vettori v1,v2,v3 dellla B(V) ottenendo la seguente matrice associata:

$ ( ( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 1 ),( 3 , -1 , 0 , 0 ) ) $

det(A)=-3 $ rArr $ rk(A)=4

$B(V+W)= { (0,1,1,3), (1,0,0,-1), (0,1,0,0), (0,0,1,0)} $
$ dim(V+W)=4 $

PROCEDO PER V $ nn $ W:

dim(V $ nn $ W)= dimV+ dimW - dim(V+W)= 3

$ v in VnnW hArr { ( v in V ),( v in W ):} $

Per v $in$ V, $AA$a,b,c,d $in$ R

$rArr$ v= a(2,-4,1,-3)+ b(0,1,1,3)+ c(4,1,1,1)+ d(-4,-6,0-4)=
=(2a+4c-4d, -4a+b+c-6d, a+b+c, -3a +3b +c -4d); dove ognuno di questi elementi corrisponde a x1,_,4

Per v $in$ W:

$ { ( -8a+9b+5c-14d=0 ),( -a +3b +5c -8d=0 ):} $

Ed eccoci qua, 4 incognite 2 equazione ed una dimensione pari a 3.
dim=3 dovrebbe indicare che il numero max di vettori LI è 3, di conseguenza dovremmo avere 3 equazioni cartesiane e quindi di questi 4 parametri soltanto uno dovrebbe essere fissato mentre gli altri 3 si lasciano liberi.
Secondo me ho sbagliato qualcosa nel determinarmi questo ultimo sistema, non dovrei avere 3 equazioni? Dove ho sbagliato?


d)

Banalmente essendo V $nn$ W diverso {0} non sono a somma diretta.


Aspetto con ansia chiarimenti, grazie sempre!

[j18eos]

A) Ok, salvo errori nei calcoli.
B) Perché quella è una base? Fermo restando che il risultato è corretto!
C) Perché quella scelta? Eppoi, essendo in \(\displaystyle\mathbb{R}^4\) ed al contempo (modulo errori) \(\displaystyle\dim V=4\): non ti viene nulla in mente?
D) Dal punto (C), per come ti sto suggerendo, diventa banale...

[Anasclero]

Allora al punto B perché ho un sistema di generatori e al contempo dei vettori LI, a meno che non dimentico qualcosa.

Al punti C invece non ho ben capito. Il fatto che io abbia la dim(V+W)=4 mi fa pensare di potere prendere la base di R^4.
Ma supponendo di essere nel caso più generale possibile, è errato procedere come ho fatto io? Vorrei capire dove sta l'errore nel metodo applicato nel modo di riuscire ad affrontare altri problemi simili

[j18eos]

Domanda secca: sia \(\displaystyle A\) un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}\) di dimensione \(\displaystyle 1\); \(\displaystyle A\) è un sottoinsieme proprio di \(\displaystyle\mathbb{R}\)?

[Anasclero]

Sto preparando geometria e algebra lineare per un totale di 6 cfu, di conseguenza lo stesso professore sta correndo un po ed evita di fornirci la terminologia "esatta" dato che abbiamo poco tempo. In più sono laureando e vorrei anticipare ulteriormente i tempi dell'esame ahah. Comunque leggendo velocemente su internet la definizione di "sotto insieme proprio", ossia tradotto nella domanda da te posta: tutti gli elementi di A appartengono ad R, ma almeno un elemento di R non deve appartenere a A.

Se $ R= {a | a in R} $
Penso che A sia un sottoinsieme improrio se è anche sottospazio in quanto o coincide con R o con l'insieme vuoto

[j18eos]

Più o meno ci siamo...

Senza cambiare i nomi dal mio esempio, poiché \(\displaystyle A\neq\emptyset\) allora \(\displaystyle A=\mathbb{R}\)!

Più in generale: se \(\displaystyle A\) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) tale che \(\displaystyle\dim A=n\), allora \(\displaystyle A=\mathbb{R}^n\)?

E ciò come lo useresti nel tuo esercizio?

[Bokonon]

"Anasclero":
b)

$ { ( x2+2x3-2x1=0 ),( x4=-x1 ):} $

$W= {(x1,x2,x3,-x1) in R^4 | x1,x2,x3 in R} $

Per combinazione lineare ottengo la base di W:

$ B(W)= {(1,0,0,-1), (0,1,0,0), (0,0,1,0)} $
$dim(W)=3 $

Temo sia sbagliato. W ha dimensione 2 (è l'intersezione di due iperpiani di dim. 3).
Una base può essere $ B(W)= {(1,0,1,-1), (0,2,-1,0)} $
Nota che i vettori della base che hai scritto non appartengono nemmeno a W, quindi come possono crearlo?
Nessuno dei tre vettori soddisfa il primo vincolo del sistema.

[Anasclero]

"j18eos":Più o meno ci siamo...

Senza cambiare i nomi dal mio esempio, poiché \(\displaystyle A\neq\emptyset\) allora \(\displaystyle A=\mathbb{R}\)!

Più in generale: se \(\displaystyle A\) è un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) tale che \(\displaystyle\dim A=n\), allora \(\displaystyle A=\mathbb{R}^n\)?

E ciò come lo useresti nel tuo esercizio?

Mi viene da pensare di prendere come base del sottospazio la base canonica di $ R^4 $. Non capisco però dove stiamo andando a parare ahah

[Anasclero]

"Bokonon":[quote="Anasclero"]
b)

$ { ( x2+2x3-2x1=0 ),( x4=-x1 ):} $

$W= {(x1,x2,x3,-x1) in R^4 | x1,x2,x3 in R} $

Per combinazione lineare ottengo la base di W:

$ B(W)= {(1,0,0,-1), (0,1,0,0), (0,0,1,0)} $
$dim(W)=3 $

Temo sia sbagliato. W ha dimensione 2 (è l'intersezione di due iperpiani di dim. 3).
Una base può essere $ B(W)= {(1,0,1,-1), (0,2,-1,0)} $
Nota che i vettori della base che hai scritto non appartengono nemmeno a W, quindi come possono crearlo?
Nessuno dei tre vettori soddisfa il primo vincolo del sistema.[/quote]
Sinceramente ho capito ben poco. Non ho 3 variabili libere? Inoltre i vettori non sono linearmente indipendenti? Scusa per l'ignoranza ma purtroppo come ho già detto non è una materia che il professore sta sviscerando essendo da 6 cfu

[Bokonon]

Sono due le variabili libere. Mettiamo per esempio $x_1=t$ e $x_3=s$ Avremo quindi che $x_4=-t$ e $x_2=2t-2s$

[j18eos]

"Anasclero":Mi viene da pensare di prendere come base del sottospazio la base canonica di $ R^4 $...

Esatto!, in quanto \(\displaystyle V=\mathbb{R}^4\).

"Anasclero":... Non capisco però dove stiamo andando a parare ahah

Andiamo a parare che non prendi 18 allo scritto, ed eviti che il docente ti impallini di domande su un argomento che non hai pienamente digerito.

[Anasclero]

Certo effettivamente non ha senso quello che ho fatto. Quindi per essere certo di avere capito:

$ { ( x2+2x3-2x1=0 ),( x4=-x1 ):} $

$ rArr $

$ { (x2= -2x3 + 2x1), (x4= -x1):} $

$ rArr $ $ W:={( x1, -2x3 +2x1, x3, -x1) in R^4 | x1,x3 in R} } $

Scrivendo la combinazione lineare: $ a(1, 2, 0, -1)+ b(0, -2, 1, 0) $

Quindi una delle infinite basi di dimensione 2 è: $ B(W)={(1, 2, 0, -1), (0, -2, 1, 0)} $

Grazie mille, penso di avere capito questo errore. Vedo se ora riesco a capire l'altro :')

[Anasclero]

Per fortuna l'esame è solo scritto!! Ahahah

Comunque ho capito il ragionamento e ti ringrazio. Grazie a Bokonon ho scoperto che il punto b era errato; questo significa che ho una situazione diversa al punto c :').

In quanto ho :

$ dim(V nn W) = 4 + 2 -4= 2 $

ovviamente ho cambiato la base di $ V+W $ che però ha rank sempre pari a 4 (fatto un po ad occhio ma dovrebbe essere giusto per quello che mi hai detto tu, ovvero che una delle basi di V è proprio la base canonica di R^4, e dato che il $ rk(V+W) <= 4 $ posso facilmente prendermi 4 vettori LI elimando gli altri)

Quindi ora ho un sistema di 4 incognite di cui 2 sono libere e 2 le fisso in due equazione. Posso facilmente trovarmi le soluzioni così

[Bokonon]

"Anasclero":C
Quindi una delle infinite basi di dimensione 2 è: $ B(W)={(1, 2, 0, -1), (0, -2, 1, 0)} $

Corretto

[Anasclero]

Grazie ancora! Spero di non rifarmi vivo troppo presto anche se dubito