Esercizio su basi e dimensioni

[djanthony931]

Ecco la traccia:



Vi espongo i miei dubbi:

a) Ho posto, x=z,y=x+t e z=y-t, così ho [(x, x+t, y-t, t)] = x(1,1,0,0) + y(0,0,1,0) + z(0,0,0,0) + t(0,1,-1,1) e non so andare avanti...

b) Se ad esempio ho un altro sottospazio vettoriale espresso come W, ad esempio T=L((0,1,3,0), (1,1,1,0)) (inventato proprio), W + T = L((0,1,1,0), (0,2,1,1), (0,1,3,0), (1,1,1,0)) è giusto? Ma io ho U espresso con equazioni, come mi devo muovere?

Grazie in anticipo

[Atem1]

Per il primo quesito tu hai che la terza equazione del sistema è combinazione lineare delle prime 2 (sommale e vedi che ti esce) quindi puoi ridurre il sistema a

$\{(x - z = 0),(-y +z +t =0):}$
Ora siccome hai un sistema di 2 equazioni in 4 incognite vuol dire che hai 2 variabili libere, cioè le soluzioni del sistema dipendono da questi 2 parametri che tu poni ad esempio come $t=alpha$ e $z=beta$
E risolvi il sistema:

$\{(x - z = 0),(-y +z +t =0), (z=beta), (t=alpha) :}$

cioè:

$\{(x = beta),(y= alpha +beta), (z=beta), (t=alpha) :}$

raccogliendo $alpha$ e $beta$ hai:

$((x),(y),(z),(t)) = alpha * ((0),(1),(0),(1)) + beta * ((1),(1),(1),(0)) $

quindi come vedi U è il sottospazio generato da questi 2 vettori quindi la sua dimensione è 2.



Per il secondo quesito sai che il sottospazio generato da U+W è quello generato dai 2 generatori di U e dai 2 generatori di W:

$((1),(1),(1),(0)), ((0),(1),(0),(1)), ((0),(1),(1),(0)), ((0),(2),(1),(0)) $

quindi vuoi calcolarti la dimensione per cui ti servono solo quelli linearmente indipendenti e quindi ti fai la matrice, la riduci a scala e vedi quanti pivot ci sono, cioè calcoli il rango. La matrice è:

$((1,0,0,0), (1,1,1,2), (1,0,1,1), (0,1,0,0))$ e ridotta a scala diventa $((1,0,0,0), (0,1,1,2), (0,0,1,1), (0,0,0,0))$

Per cui il rango è 3, e allora la dimensione è 3 cioè il numero delle colonne linearmente indipendenti è 3, quindi la base di questo sottospazio generato è ad esempio quella formata dai primi 3 vettori (quelli corrispondenti ai pivot):

$((1),(1),(1),(0)), ((0),(1),(0),(1)), ((0),(1),(1),(0)) $

E ora fai il procedimento inverso di quello che abbiamo fatto nel primo quesito


$((x),(y),(z),(t)) = alpha*((1),(1),(1),(0)) + beta*((0),(1),(0),(1)) + gamma*((0),(1),(1),(0)) $

Ora metti tutto a sistema:
$\{(x = alpha),(y = alpha+beta+gamma), (z=alpha+gamma), (t=beta) :}$

Prendi $t=beta$ vai a sostituire:

$\{(x = alpha),(y = alpha+t+gamma), (z=alpha+gamma) :}$

Ora sottrai la terza equazione alla seconda e diventa:

$\{(x = alpha),(y-z = t) :}$

cioè $-y+z+t=0$


Per il terzo quesito ti trovi la rappresentazione cartesiana di W cioè

$((x),(y),(z),(t)) = alpha * ((0),(1),(1),(0)) + beta * ((0),(2),(1),(1)) $

Metti a sistema:

$\{(x = 0),(y = alpha+2beta), (z=alpha+beta), (t=beta) :}$

e risolvendolo trovi la sua rappresentazione cartesiana che è
$\{(x = 0),(-y+z+ t=0) :}$

Adesso visto che l'esercizio ti chiede l'intersezione fra U e W metti a sistema le loro rappresentazioni cartesiane (in teoria sarebbero 5 equazioni ma sai già che 2 sono combinazioni lineari delle altre quindi per far prima le togli subito:
$\{(x = 0),(-y+z+ t=0), (x - z = 0) :}$
quindi

$\{(x = 0),(y=t), (z = 0) :}$

Ora visto che hai 3 equazioni e 4 incognite poni una variabile libera uguale a un parametro $t=alpha$
$\{(x = 0),(y=alpha), (z = 0), (t=alpha) :}$

Ora come al solito raccogli $alpha$

$((x),(y),(z),(t)) = alpha * ((0),(1),(0),(1))$

e hai trovato la base di U intersecato W che come vedi ha dimensione 1.
Avresti anche potuto usare la formula di Grassman che dice

$dim (U+W) = dim U + dim W - dim UnnV $
cioè $3 = 2+2 - dim UnnV $
cioè $dim UnnV = 1 $

"djanthony93":Se ad esempio ho un altro sottospazio vettoriale espresso come W, ad esempio T=L((0,1,3,0), (1,1,1,0)) (inventato proprio), W + T = L((0,1,1,0), (0,2,1,1), (0,1,3,0), (1,1,1,0)) è giusto?

Sì, è giusto.

[djanthony931]

Ma: (1,1,1,0), (0,1,0,1) non è una base di U? Per calcolarmi U+W non dovrei trovare U nella forma di W? La "L" sta per copertura lineare?
Tu hai svolto tutti i quesiti mettendo a colonna i vettori, il mio professore però non li risolve così e li ordina per riga, il procedimento è lo stesso oppure cambia?

Grazie per la risposta, chiarissimo!

[Atem1]

"djanthony93":Ma: (1,1,1,0), (0,1,0,1) non è una base di U? Per calcolarmi U+W non dovrei trovare U nella forma di W? La "L" sta per copertura lineare?
Tu hai svolto tutti i quesiti mettendo a colonna i vettori, il mio professore però non li risolve così e li ordina per riga, il procedimento è lo stesso oppure cambia?

Grazie per la risposta, chiarissimo!

Sì, (1,1,1,0), (0,1,0,1) è una base per U che è quello che ho scritto qui:

"Atem":
$((x),(y),(z),(t)) = alpha * ((0),(1),(0),(1)) + beta * ((1),(1),(1),(0)) $

quindi come vedi U è il sottospazio generato da questi 2 vettori quindi la sua dimensione è 2.

$alpha$ e $beta$ sono solo 2 parametri, ma avrei potuto mettere prima (1,1,1,0) e poi (0,1,0,1) e sarebbe risultata la stessa cosa perchè il sottospazio generato è lo stesso visto che rappresenta tutte le combinazioni lineari di questi 2 vettori, e sì L sta per tutte le possibili combinazioni lineari che puoi avere usando quei 2 vettori mentre $alpha$ e $beta$ sono semplicemente i coefficienti (in questo caso tutti quelli possibili) della combinazione lineare.

Ma noi comunque stiamo parlando di sottospazio generato perchè questa base:
B1=(1,1,1,0), (0,1,0,1)
è diversa da questa:
B2=(0,1,0,1), (1,1,1,0)

cioè anche l'ordine conta infatti si parla di "basi ordinate".

Però generano lo stesso sottospazio che nel nostro caso si chiama U quindi entrambe le 2 basi che ho sopra citato sono "una base per U" cioè B1 è una base per U ma anche B2 è una base per U.

Anche io comunque sono uno studente che ha visto per la prima volta queste cose circa 1 mese fa, quindi per l'ultima domanda, non so cosa tu intenda ma immagino che ci siano molti metodi possibili per risolvere uno stesso problema, se poi il procedimento è lo stesso dovresti essere in grado di riconoscerlo

[djanthony931]

Si ci troviamo, però quello che dico io è che se io devo trovare la dimensione di una somma tra sottospazi vettoriali, devo sommare due sottospazi vettoriali, tu hai sommato una base con uno spazio vettoriale, è questo che non capisco, io ho trovato una base di U ma non il sottospazio vettoriale U scritto nella forma uguale a quella di W...

[Atem1]

"djanthony93":Si ci troviamo, però quello che dico io è che se io devo trovare la dimensione di una somma tra sottospazi vettoriali, devo sommare due sottospazi vettoriali, tu hai sommato una base con uno spazio vettoriale, è questo che non capisco, io ho trovato una base di U ma non il sottospazio vettoriale U scritto nella forma uguale a quella di W...

Forse dovresti quotarmi il punto che non hai capito perchè io non ho mai sommato una base con uno spazio vettoriale.

Se hai
U=L((u1),(u2))
e
W=L((w1),(w2))

lo spazio somma U+W è
L(U,W) = L((u1),(u2),(w1),(w2))
che è esattamente quello che chiedevi tu alla fine del tuo primo post quindi fin qui se sicuramente d'accordo.

Se vuoi trovare la dimensione del sottospazio vettoriale devi trovare quali fra questi (u1,u2,w1,w2) sono fra loro linearmente indipendenti, quindi fai la riduzione a scala e prendi i vettori la cui colonna corrisponde a quella dei pivot perchè così sei sicuro al 100% che sono fra loro linearmente indipendenti e quindi ti sei trovato la base, perchè come sai la base è formata dai generatori che sono fra loro linearmente indipendenti e il numero di questi vettori rappresenta proprio la dimensione...

Quindi per prima cosa ho trovato la base del sottospazio U+W e poi dalla forma parametrica ho messo tutto a sistema e ricavato quella cartesiana.

[djanthony931]

Mi spiego in un altro modo.
Io ho U, sottospazio vettoriale, espresso con equazioni cartesiane, come faccio ad esprimere U con la stessa forma di W?
Un dubbio: la dimensione di un sottospazio vettoriale è uguale alla cardinalità (cioè al numero di vettori) di una sua qualsiasi base giusto? Allora la dimensione di U è 2 proprio perchè una sua base ha dimensione 2 no?

[Seneca1]

@ djanthony93: Ti informo che è obbligatorio inserire il testo dell'esercizio manualmente, senza avvalersi di foto o immagini.

[djanthony931]

Appena posso riscrivo tutto l'esercizio

[Atem1]

"djanthony93":Mi spiego in un altro modo.
Io ho U, sottospazio vettoriale, espresso con equazioni cartesiane, come faccio ad esprimere U con la stessa forma di W?
Un dubbio: la dimensione di un sottospazio vettoriale è uguale alla cardinalità (cioè al numero di vettori) di una sua qualsiasi base giusto? Allora la dimensione di U è 2 proprio perchè una sua base ha dimensione 2 no?

Sì, la dimensione di U è 2 perchè OGNUNA delle sue basi è costituita da 2 vettori.
Se una base di uno spazio vettoriale è costituita da n vettori, allora tutte le basi di quello spazio vettoriale sono costituite da n vettori, e questo "n" rappresenta la dimensione dello spazio vettoriale.
Per la prima domanda invece la risposta è quello che avevo scritto come soluzione al quesito 1.
Se hai U espresso in equazioni cartesiane per trovare una sua base devi utilizzare quel procedimento che si concludeva così:

"Atem":
$((x),(y),(z),(t)) = alpha * ((0),(1),(0),(1)) + beta * ((1),(1),(1),(0)) $

quindi come vedi U è il sottospazio generato da questi 2 vettori quindi la sua dimensione è 2.

cioè è risultato che U=L((1,1,1,0),(0,1,0,1))
cioe U è il sottospazio generato da tutte le combinazioni lineari di (1,1,1,0) , (0,1,0,1)
cioè, per usare le tue parole: lo abbiamo espresso nella stessa forma di W.


Dopo di che affianchi questi 2 vettori generatori di U ai 2 vettori generatori di W e trovi quali fra loro sono linearmente indipendenti con la riduzione a scala in modo da trovare la dimensione dello spazio somma...

[djanthony931]

Se invece volessi esprimere W con equazioni analitiche come si procede?

[Atem1]

"djanthony93":Se invece volessi esprimere W con equazioni analitiche come si procede?

Così:

"Atem":
Per il terzo quesito ti trovi la rappresentazione cartesiana di W cioè

$((x),(y),(z),(t)) = alpha * ((0),(1),(1),(0)) + beta * ((0),(2),(1),(1)) $

Metti a sistema:

$\{(x = 0),(y = alpha+2beta), (z=alpha+beta), (t=beta) :}$

e risolvendolo trovi la sua rappresentazione cartesiana che è
$\{(x = 0),(-y+z+ t=0) :}$

[djanthony931]

Il mio professore fa un procedimento diverso dal tuo per calcolare le equazioni analitiche di un sottospazio vettoriale, ad esempio ho: V=L((1,1,1),(0,1,0),(1,1,1)) faccio la matrice associata a questo sottospazio:

( 1 0 1 )( x ) ( 0 )
( 1 1 1 )( y ) = ( 0 )
( 1 0 1 )( z ) ( 0 ) e quindi mi trovo le due equazioni 1) x+z=0 e 2) x+y+z=0 ovvero 1)x=-z e 2) y=0, quindi il sottospazio può essere espresso come: {(-z,0,z) appartenenti a R^3 \ z appartiene a R}, così per trovare una base di V basta che sostituisce ad esempio 1, come faccio ad applicare lo stesso procedimento all'esercizio che ho postato all'inizio? Io c'ho provato ma mi sono trovato in difficoltà perchè non riesco ad esprimere ogni vettore con un solo parametro, infatti tu hai fatto un altro passaggio che purtroppo non riesco a capire teoricamente a cosa porta (praticamente sì invece). Puoi spiegarmi perchè hai svolto così il primo quesito?

[Atem1]

"djanthony93":Il mio professore fa un procedimento diverso dal tuo per calcolare le equazioni analitiche di un sottospazio vettoriale, ad esempio ho: V=L((1,1,1),(0,1,0),(1,1,1)) faccio la matrice associata a questo sottospazio:

( 1 0 1 )( x ) ( 0 )
( 1 1 1 )( y ) = ( 0 )
( 1 0 1 )( z ) ( 0 ) e quindi mi trovo le due equazioni 1) x+z=0 e 2) x+y+z=0 ovvero 1)x=-z e 2) y=0, quindi il sottospazio può essere espresso come: {(-z,0,z) appartenenti a R^3 \ z appartiene a R}, così per trovare una base di V basta che sostituisce ad esempio 1, come faccio ad applicare lo stesso procedimento all'esercizio che ho postato all'inizio? Io c'ho provato ma mi sono trovato in difficoltà perchè non riesco ad esprimere ogni vettore con un solo parametro, infatti tu hai fatto un altro passaggio che purtroppo non riesco a capire teoricamente a cosa porta (praticamente sì invece). Puoi spiegarmi perchè hai svolto così il primo quesito?

Ma sei sicuro che non ti stai confondendo con le applicazioni lineari?

Sia F:V->W un'applicazione lineare e V,W due spazi vettoriali
1.Se v1...vk generano V, allora l'Immagine di F è generata da F(v1)...F(vk)
2.Ogni applicazione lineare $R^n$->$R^m$ individua una matrice associata A € $M_{mxn}$ che ha come colonne le immagini dei vettori della base canonica
3.Sol (A|O) = Ker F

Le colonne di quella matrice rappresentano i generatori dell'Immagine...
...Quello che hai scritto oltre a rappresentare il Kernel di quella funzione, rappresenta la matrice di cambiamento di base dalla base canonica alla base B...

[Atem1]

"djanthony93":Il mio professore fa un procedimento diverso dal tuo per calcolare le equazioni analitiche di un sottospazio vettoriale, ad esempio ho: V=L((1,1,1),(0,1,0),(1,1,1)) faccio la matrice associata a questo sottospazio:

( 1 0 1 )( x ) ( 0 )
( 1 1 1 )( y ) = ( 0 )
( 1 0 1 )( z ) ( 0 ) e quindi mi trovo le due equazioni 1) x+z=0 e 2) x+y+z=0 ovvero 1)x=-z e 2) y=0

Comunque tu in questo caso hai la matrice e sai come trovarti le equazioni cartesiane....
...Mentre nell'esercizio tu hai le equazioni cartesiane e dunque vuoi sapere come risalire alla matrice?

Dunque premettendo che tu stai lavorando da $R^3$ in $R^3$ se tu hai
questo vettore di $R^3$ (x+z, x+y+z, x+z) la matrice associata ha per colonne le immagini dei vettori della base canonica quindi:
f(e1) | (f(e2) | f(e3)

Applica la tua funzione (x+z, x+y+z, x+z) ad (e1) dunque f(1,0,0) = (1+0,1+0+0,1+0) = (1,1,1) (primo vettore colonna della matrice)
f(e2)=f(0,1,0) = (0+0, 0+1+0, 0+0) = (0,1,0) (secondo vettore colonna: immagine di e2)
f(e3)=f(0,0,1) = (0+1, 0+0+1, 0+1) = (1,1,1) (terzo vettore colonna: immagine di e3)

Adesso affianchi i 3 vettori colonna ed hai trovato la matrice asssociata a quella funzione
1 0 1
1 1 1
1 0 1

[djanthony931]

Mi sto confondendo, quello centra con altro, il procedimento che fa è differente ma non è quello il problema. Stavo esercitandomi, però questo quesito non lo riesco a risolvere, ci sto provando da 1 ora:

Assegnati i seguenti sottospazi vettoriali di R^4:
U=L((0,0,1,-1),(-1,0-1,2)) e W={(x,y,... y+z=0, x+t=0}
in sostanza mi chiede di trovare una rappresentazione cartesiana di U+W

La prima cosa che ho fatto è esprimere W nella stessa forma di U per poi trovare U+W. Ho fatto il tuo procedimento e mi trovo però due risultati diversi, questo perchè ho considerato, quando faccio il sistema, due variabili libere diverse, quindi mi trovo questi due risultati:
W=L((1,0,0,-1),(0,1,-1,0)) oppure W=L((0,-1,1,0),(-1,0,0,1)

Ti spiego il procedimento che faccio per trovare l'equazione cartesiana di un sottospazio, per esempio voglio trovare quella di U, prendo la sua base e faccio questa matrice:
( x y z t )
( 0 0 1 -1)
(-1 0 -1 2 ) la matrice deve avere rango 2, quindi la prima riga deve essere combinazione lineare delle altre due, per questo impongo che il determinante della ridotta 3x3 sia uguale a zero, quindi mi trovo y=0 che è l'equazione analitica del sottospazio U, ti trovi con me?

[Atem1]

"djanthony93": W={(x,y,... y+z=0, x+t=0}

Non ho capito cosa sono quei puntini....
Secondo me hai ricopiato male il testo dell'esercizio...

"djanthony93":
Ti spiego il procedimento che faccio per trovare l'equazione cartesiana di un sottospazio, per esempio voglio trovare quella di U, prendo la sua base e faccio questa matrice:
( x y z t )
( 0 0 1 -1)
(-1 0 -1 2 ) la matrice deve avere rango 2, quindi la prima riga deve essere combinazione lineare delle altre due, per questo impongo che il determinante della ridotta 3x3 sia uguale a zero, quindi mi trovo y=0 che è l'equazione analitica del sottospazio U, ti trovi con me?

Ora a parte il fatto che quelli sono vettori colonna, ma in QUESTO SPECIFICO CASO non cambia nulla anche se li consideri come righe e dunque quello che hai fatto non è sbagliato PER QUESTO SPECIFICO TIPO DI ESERCIZI.
Ma in generale per non sbagliare è meglio se li tratti sempre come vettori colonna. Comunque tornando a noi...
Allora se lo fai in questo modo porre Y=0 NON ti garantisce che il rango di quella matrice sia 2.
Infatti così facendo sarebbe 0 il determinante di tutti i minori che contengono Y, ma NON di questo minore:
$((x, z, t), (0, 1, -1), (-1, -1, 2))$

Di conseguenza per avere che il determinate di TUTTI i minori di quella matrice siano 0 devi imporre che il determinante del sopracitato minore sia 0, cioè sviluppandolo secondo la seconda riga diventa:

$det ((x, t), (-1, 2)) + det ((x, z), (-1, -1)) =0$

cioè

$2x+t-x+z=0$

dunque

$x+t+z=0$

Quindi poi U diventa:
$\{(x +t+z=0),(y = 0) :}$

Oppure lo fai nell'altro modo:

$((x),(y),(z),(t)) = alpha * ((0),(0),(1),(-1)) + beta * ((-1),(0),(-1),(2)) $

Metti a sistema:

$\{(x = -beta),(y = 0), (z=alpha-beta), (t=-alpha+2beta) :}$ -> $\{(x = -beta),(y = 0), (alpha=z+beta), (t=-z+beta) :}$ -> $\{(x = -beta),(y = 0), (alpha=z+beta), (beta=t+z) :}$ -> $\{(x =-t-z),(y = 0), (alpha=z+beta), (beta=t+z) :}$

Quindi come volevasi dimostrare U è:
$\{(x +t+z=0),(y = 0) :}$

Se hai 1 un sottospazio di dimensione 1 è una retta, se la dimensione è 2 è un piano, se la dimensione è 3 è uno spazio, se la dimensione è 4 non so come si chiami... ma in ogni caso hai capito la logica...
Allora succede che se in $R^3$ intersechi 2 piani nel caso NON SIANO LO STESSO PIANO (e di conseguenza ti verrebbe se stesso cioè dimensione 2) ti esce fuori che la loro interesezione può essere un punto (dimensione 0) o una retta (dimensione 1).
Se la base di uno spazio vettoriale ha dimensione 1 allora è una retta
Se la base ha dimensione 2 (cioè 2 vettori linearmente indipendenti) allora stiamo parlando di un piano.
Se la base ha dimensione 3 hai lo spazio $R^3$.

Se sei in $R^4$ allora i vettori sono composti da 4 coordinate e quindi se trovi un sottospazio
di dimensione 3 hai uno spazio,
di dimensione 2 è un piano,
di dimensione 1 è una retta,
di dimensione 4 è tutto $R^4$

Dunque se hai 3 variabili libere ti esce fuori uno spazio.
Nel tuo caso tu avevi che U aveva dimensione 2 quindi doveva essere per forza un piano.
Ma se tu consideri solamente y=0 allora hai ben 3 variabili libere (infatti hai ben 4 incognite a fronte di una sola equazione), e quindi quello è uno spazio!
Già questo doveva farti capire che considerare solamente y=0 era un errore perchè U avendo dimensione 2 è un piano e non uno spazio e se sei in $R^4$ il piano lo trovi con l'intersezione di 2 equazioni (cioè 2 equazioni e 4 incognite -> 2 variabili libere -> dimensione 2 -> piano).

[djanthony931]

W={(x,y,z,t) appartenenti a R^4 tale che: y+z=0, x+t=0}

pensavo capissi ma vbbè XD

La prima cosa che ho fatto è esprimere W nella stessa forma di U per poi trovare U+W. Ho fatto il tuo procedimento e mi trovo però due risultati diversi, questo perchè ho considerato, quando faccio il sistema, due variabili libere diverse, quindi mi trovo questi due risultati:
W=L((1,0,0,-1),(0,1,-1,0)) oppure W=L((0,-1,1,0),(-1,0,0,1)

Ho trovato questi due risultati usando "l'altro modo" che usi tu esprimendo i vettori in colonna.

Senza che apro un altro topic:
" Sia f:V->W un applicazione lineare. Siano R=(e1...en) un riferimento di V e R'=(e'1...e'n) un riferimento di W. Sia A la matrice associata a f rispetto a R e R'.

Kerf è rappresentazione del sistema omogeneo A*X=0 (ovvero le soluzioni del sistema A*X=0 sono le componenti, rispetto al riferimento R, dei vettori del nucleo Kerf"

ma cosa vuole dire "rispetto al riferimento R"?