Esercizio su basi di spazi vettoriali
Salve, non mi riesce il punto B del primo esercizio di questo compitino.
http://www.dm.unipi.it/~manfredi/didatt ... -11-07.pdf
Devo trovare una base di Ker f con dimensione 2. A quanto pare la dimensione della base di ker f dovrebbe variare al variare di alfa, credo.
allora dal momento che fα = {(a11 + a12);(a11 + αa12 +αa21 +2a22); (2αa11 + αa21 + αa12 + 3αa22)}
e che il nucleo è l'insieme dei valori di x che rendono f( x) = 0, ho costruito il sistema omogeneo, ma non riesco ad andare avanti, nel senso che mi riesce trovare solo i valori degli elementi della matrice A per cui fα si annulla. Non so come fare.
[/chessgame]
http://www.dm.unipi.it/~manfredi/didatt ... -11-07.pdf
Devo trovare una base di Ker f con dimensione 2. A quanto pare la dimensione della base di ker f dovrebbe variare al variare di alfa, credo.
allora dal momento che fα = {(a11 + a12);(a11 + αa12 +αa21 +2a22); (2αa11 + αa21 + αa12 + 3αa22)}
e che il nucleo è l'insieme dei valori di x che rendono f( x) = 0, ho costruito il sistema omogeneo, ma non riesco ad andare avanti, nel senso che mi riesce trovare solo i valori degli elementi della matrice A per cui fα si annulla. Non so come fare.
[/chessgame]
Risposte
non ho capito una cosa ma lo spaizo da cui parti sono le matrici 2x2? perchè non mi è chiaro quel simbolo che c'è sul testo dell'esercizio.
se è così allora basta che prendi una base dello spaizo di partenza (convien quella canonica poichè+ suppongo i conti siano più facili)
e così ti trovi la matrice associata a tale applicazione lienare e a questo punto è un gioco da ragazzi vedere gli $\alpha$ per cui ha nucleo con dimensione 2, è il semplice calcolo di un determinate.
ciao ciao
se è così allora basta che prendi una base dello spaizo di partenza (convien quella canonica poichè+ suppongo i conti siano più facili)
e così ti trovi la matrice associata a tale applicazione lienare e a questo punto è un gioco da ragazzi vedere gli $\alpha$ per cui ha nucleo con dimensione 2, è il semplice calcolo di un determinate.
ciao ciao
Si lo spazio da cui parto sono le matrici 2x2. Ma quello che mi domando è, trovando il determinante della matrice associata, poi cosa devo fare? non riesco proprio a capire come passo dal determinante di una matrice al nucleo.
Grazie.
Grazie.
tu sai che il rango della matrice ti dà la dimensione dell'immagine...e quindi anche quella del nucleo in quanto è uguale alla dimensione dello spazio di partenza meno la dimensione dell'immagine... scusa non determinante in quanto la matrice non è quadrata e quindi non ha senso parlare di determinante ma di rango.
ok ho capito, a questo punto devo trovare la matrice da associare a questa funzione. Però non riesco a trovare questa matrice. Anche perchè devo partire dalle matrici 2 x 2 e arrivare alle matrici 3 x 1. Sbaglio?
e ma è semplice trovarla... allora sia $e_1,e_2,e_3,e_4$ la base standard del tuo spazio di partenza che non è altro che $RR^4$
ricorda come sono i vettori della base canonica di $RR^4$ e adesso mettili sottoforma di matrici.
dunque
$e_1=((1,0),(0,0))$ $e_2=((0,1),(0,0))$ $e_3=((0,0),(1,0))$ $e_4=((0,0),(0,1))$
e adesso facendo i calcoli risulta:
$f(e_1)=(1,1,2\alpha)$ $f(e_2)=(0,\alpha,\alpha)$ $f(e_3)=(0,\alpha,\alpha)$ $f(e_4)=(1,2,\alpha)$
e la matrice associata è
$((1,0,0,1),(1,\alpha,\alpha,2),(2\alpha,\alpha,\alpha,\alpha))$
e da qui studi rango in funzione di $\alpha$ e troverai le condizioni su $\alpha$ affinchè il nucleo abbia dimensione 2.
spero di essere stato daiuto
ricorda come sono i vettori della base canonica di $RR^4$ e adesso mettili sottoforma di matrici.
dunque
$e_1=((1,0),(0,0))$ $e_2=((0,1),(0,0))$ $e_3=((0,0),(1,0))$ $e_4=((0,0),(0,1))$
e adesso facendo i calcoli risulta:
$f(e_1)=(1,1,2\alpha)$ $f(e_2)=(0,\alpha,\alpha)$ $f(e_3)=(0,\alpha,\alpha)$ $f(e_4)=(1,2,\alpha)$
e la matrice associata è
$((1,0,0,1),(1,\alpha,\alpha,2),(2\alpha,\alpha,\alpha,\alpha))$
e da qui studi rango in funzione di $\alpha$ e troverai le condizioni su $\alpha$ affinchè il nucleo abbia dimensione 2.
spero di essere stato daiuto
Perfetto grazie mille, ora tutto ha un senso. Certo che geometria... è tosta...
è bella
sì sì piace anche a me... l'unica cosa è che per me ha il fascino del misterioso, visto che mi pare una notte in cui tutte le vacche sono scure (e Schelling mi perdonerà per questo). Pensa che io avevo capito che per trovare le basi del nucleo dovevo costruire un sistema omogeneo del tipo:
a11 + a12 = 0
a11 + αa12 +αa21 +2a22 = 0
2αa11 + αa21 + αa12 + 3αa22 = 0
e vedere per quali valori di alfa era verificato il sistema... perchè questo ragionamento che ho fatto non porta a niente? cioè di fatto non sto cercando dei generatori del nucleo di F così facendo?
a11 + a12 = 0
a11 + αa12 +αa21 +2a22 = 0
2αa11 + αa21 + αa12 + 3αa22 = 0
e vedere per quali valori di alfa era verificato il sistema... perchè questo ragionamento che ho fatto non porta a niente? cioè di fatto non sto cercando dei generatori del nucleo di F così facendo?
si ma il problema è che nn sai nulla sui $a_ij$ e dunque non può concludere gran chè. quegli $a_ij$ devono essere determinati e si eterminano fissando una base.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo