Esercizio su autovettore di matrice invertibile

[tenerex]

Se $ vec v $ è un autovettore di una matrice invertibile $ A $, dimostrare che allora $ vec v $ è autovettore anche di $ A^(2) $ e di $ A^(-2) $, relativi a quali autovalori? (Giustificare la e risposta)

Mi sapete aiutare? Sinceramente non so dove sbattere la testa.
Grazie!

[miuemia]

basta applicare la definizione di autovettore!!!
$Av=\lambda v$.... quindi $A^{2}v=$.... prosegui tu

[tenerex]

Praticamente tu mi dici che:
$A^2v=lambda^2v$
e che:
$A^(-2)v=lambda^(-2)v

Conosco la definizione di autovettore, ma non c'è qualche passaggio algebrico che possa giustificare queste considerazioni? Io avevo pensato a qualcosa del genere:
$T(x)=Ax rArr T(v)=Av$
dato che $v$ è un autovettore:
$T(v)=Av=lambdav$
A questo punto riapplico la trasformazione a $Av$ (non sono sicuro che si possa fare):
$T(Av)= A*Av $
a questo punto non so come andare avanti in quanto non sono sicuro che $Av$ sia ancora un autovettore e quindi non so se posso affermare che:
$T(Av)=lambda * lambda v$

Probabilmente queste sono tutte considerazioni sbagliate però è per far capire che vorrei trovare un procedimento del genere..

Grazi mille per la disponibilità

[miuemia]

tu lo sai che $Av=\lambda v$ quindi quando riapplici $A$ ottieni $A(Av)=A(\lambda v)=\lambda Av$
ma adesso $Av=\lambda v$ e dunque $A(Av)=\lambda^{2} v$.

chiaro?

[tenerex]

Si! Grazie mille ancora!