Esercizio su autovalori

[Michele.c93]

Ragazzi sto svolgendo esercizi su autovalori e autovettori. Ma non ho capito una cosa. In questo esercizio dove data la matrice $ [ ( -lambda , 0 , 2 ),( 0 , 2-lambda , 0 ),( 2 , 0 , -lambda ) ] $ mi viene chiesto se l'autospazio associato a $lambda=2$ è $ span{( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ),((1),(0),(1)) } $.
Quindi devo calcolare gli autovettori per $lambda=2$, quindi sostituisco al posto di $lambda$ il 2 e risolvo il sistema $ | ( -2 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , -2 ) ||(0),(0),(0)| $
Dalla quale ottengo $x1=x3$ e fin qui ok. Ora dato $ x1=x3$ come faccio a ottenere $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) )$ e $((1),(0),(1)) $

Cioè se prendo x1=1 ho x3=1 ma x2? E inoltre perchè devo prendere proprio 1?

[Magma1]

Ciao

$ ( ( -2 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 ),( 2 , 0 , -2 ) )=((0),(0),(0)) $

$hArr ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )=((0),(0),(0)) $

Un sistema di $3$ equazioni in $3$ incognite con $1$ pivot e, per il teorema di Rouché-Capelli, si hanno

numero incognite - numero pivot = infinità di soluzioni
$3-1=oo^2$ soluzioni

Quindi:

variabile dipendente (pivot): $x_1$
variabile indipendente: $x_2, x_3$

Quindi le soluzioni sono:

${ ( x_1=x_3 ),( x_2 in RR ), (x_3 in RR):} hArr ((x_3),(x_2),(x_3))= x_2 ((0),(1),(0))+x_3 ((1),(0),(1))$

"Michele.c93": E inoltre perchè devo prendere proprio 1?

Dato che $x_2, x_3 in RR$ si scelgono i valori più pratici.