Esercizio su autovalore
Buongiorno a tutti. sto avendo difficolta' sullo svolgimento di questo esercizio. La traccia richiede di determinare per quale valore del parametro $ a $ la matrice ha un autovalore nullo.
$((-1,2,-1),(2,a,0),(1,1,1))$
Calcolo il determinante ma il parametro a si elide. Sapreste dirmi se sbaglio ad impostare l'esercizio cioè a calcolare il determinante? Dovrei direttamente sottrarre dalla diagonale principale $-lamda $? Grazie a tutti
$((-1,2,-1),(2,a,0),(1,1,1))$
Calcolo il determinante ma il parametro a si elide. Sapreste dirmi se sbaglio ad impostare l'esercizio cioè a calcolare il determinante? Dovrei direttamente sottrarre dalla diagonale principale $-lamda $? Grazie a tutti
Risposte
"AlessioVozza27":
Dovrei direttamente sottrarre dalla diagonale principale $ -lamda $? Grazie a tutti
Ciao.
Attenzione: non devi sottrarre $-lamda$ agli elementi di diagonale della "tua" matrice (che qui indico con $A$), ma $lamda$.
Devi richiedere che il determinante della matrice $A-lamda*I$ sia nullo.
Se provi a fare i conti, ti accorgerai che il parametro $a$ non si elide affatto.
Saluti.
Ciao Alessandro.
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. vorrei chiederti un ulteriore aiuto per la risoluzione. Sottraggo $\lamda$ dalla diagonale della matrice $A $ e vado a calcolare il determinante. Con le varie operazioni mi ritrovo un polinomio di terzo grado e cioe':
$\lamda^3$-$2$$\lamda^2$-$4$ $\lamda $-$a $ $+8$
Non riesco ad andare avanti. Commento errori di calcolo? Grazie in anticipo
Innanzitutto ti ringrazio per la risposta. vorrei chiederti un ulteriore aiuto per la risoluzione. Sottraggo $\lamda$ dalla diagonale della matrice $A $ e vado a calcolare il determinante. Con le varie operazioni mi ritrovo un polinomio di terzo grado e cioe':
$\lamda^3$-$2$$\lamda^2$-$4$ $\lamda $-$a $ $+8$
Non riesco ad andare avanti. Commento errori di calcolo? Grazie in anticipo
se la matrice deve avere autovalore nullo, significa che il suo determinante deve essere nullo
in questo modo puoi risparmiarti un bel po' di calcoli
in questo modo puoi risparmiarti un bel po' di calcoli
Ciao.
Ho svolto i conti e (se non ho sbagliato, beninteso), ponendo $|A-lambda*I|=0$, a meno di possibili miei errori, mi viene un polinomio di secondo grado in $lambda$:
$lambda^2-a*lambda +(-a-6)=0 $
Affinchè questa equazione ammetta una soluzione nulla, basterà richiedere l'annullamento del termine noto dell'equazione, cioè:
$-a-6=0 Rightarrow a=-6$
Saluti.
Ho svolto i conti e (se non ho sbagliato, beninteso), ponendo $|A-lambda*I|=0$, a meno di possibili miei errori, mi viene un polinomio di secondo grado in $lambda$:
$lambda^2-a*lambda +(-a-6)=0 $
Affinchè questa equazione ammetta una soluzione nulla, basterà richiedere l'annullamento del termine noto dell'equazione, cioè:
$-a-6=0 Rightarrow a=-6$
Saluti.
non credo sia così:
il determinante della matrice è $-6$;quindi quest'ultima non può avere autovalore nullo per nessun valore di $a$
il determinante della matrice è $-6$;quindi quest'ultima non può avere autovalore nullo per nessun valore di $a$
"quantunquemente":
non credo sia così:
il determinante della matrice è $-6$;quindi quest'ultima non può avere autovalore nullo per nessun valore di $a$
Chiedo scusa a quantunquemente, ma riterrei un po' strano ed improbabile che il determinante di $A-lambda*I$ non dipenda nè da $lambda$, nè da $a$.
A quale matrice si farebbe riferimento?
Saluti.
se $lambda=0$ ,si ha $A-lambdaI=A$
in pratica,
$A$ ha autovalore $0$ se,e solo se,il suo determinante è $0$
in pratica,
$A$ ha autovalore $0$ se,e solo se,il suo determinante è $0$
"quantunquemente":
se $lambda=0$ ,si ha $A-lambdaI=A$
in pratica,
$A$ ha autovalore $0$ se,e solo se,il suo determinante è $0$
Giusto, però il determinante di $A$ dipende comunque almeno da $a$.
Saluti.
no,perchè se calcoli il determinante viene $-6$ (la $a$ si elide)
classico esercizio a trabocchetto
classico esercizio a trabocchetto
"quantunquemente":
no,perchè se calcoli il determinante viene $ -6 $ (la $ a $ si elide)
classico esercizio a trabocchetto
Hai ragione... ho commesso un errore di segno.
Saluti.
Ancora grazie ad entrambi per l'aiuto.
Caro Alessandro ho rifatto i calcoli (spero di non aver sbagliato) ma continua ad uscire un polinomio di terzo grado. Ho paura che si tratti davvero di un trabocchetto. Se infatti sottraggo $\lamda $ dalla diagonale principale mi ritroverei con due incognite ($a $ ; $\lamda $) ma il mio obiettivo è determinare quale valore di $a$ mi da come risultato un autovalore nullo. Credo (se non ho capito male) che l'unico valore da attribuire ad $a $ per avere un autovalore nullo sia proprio $0$.
Cosa ne pensate?
Caro Alessandro ho rifatto i calcoli (spero di non aver sbagliato) ma continua ad uscire un polinomio di terzo grado. Ho paura che si tratti davvero di un trabocchetto. Se infatti sottraggo $\lamda $ dalla diagonale principale mi ritroverei con due incognite ($a $ ; $\lamda $) ma il mio obiettivo è determinare quale valore di $a$ mi da come risultato un autovalore nullo. Credo (se non ho capito male) che l'unico valore da attribuire ad $a $ per avere un autovalore nullo sia proprio $0$.
Cosa ne pensate?
NON ESISTONO VALORI DI $a$ PER I QUALI LA MATRICE ABBIA AUTOVALORE NULLO
Grazie mille per l'aiuto 
Di nulla.
Mi spiace solo di aver sbagliato qualche conto.
Saluti.
Mi spiace solo di aver sbagliato qualche conto.
Saluti.
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