Esercizio su aree
Siano A,B sottoinsiemi di R2 due aperti connessi e limitati del piano.
Dimostrare che fissata una retta r nel piano R2 se A è un aperto limitato di R2,
allora esiste una retta l parallela a r tale che l divide A in due metà che abbiano la stessa area.
Questo è solo il primo punto dell esercizio avreste qualche dritta da darmi per dimostrare questa affermazione
Grazie
Dimostrare che fissata una retta r nel piano R2 se A è un aperto limitato di R2,
allora esiste una retta l parallela a r tale che l divide A in due metà che abbiano la stessa area.
Questo è solo il primo punto dell esercizio avreste qualche dritta da darmi per dimostrare questa affermazione
Grazie
Risposte
Provo a dare un'idea di una dimostrazione.
Deve esistere necessariamente una retta \(s: y = mx + q_s\) parallela a \(r: y = mx + q_r\) che intersechi l'insieme \(A\). Dal momento che \(A\) è connesso, tale retta lo divide esattamente in due parti: i due insiemi originati sezionando \(A\) mediante la retta \(s\), hanno aree che, sommate, devono restituire l'area di \(A\). Chiamando \(A_1\) e \(A_2\) tali insiemi e chiamando per semplicità \(S_A\), \(S_{A_1}\), \(S_{A_2}\) rispettivamente le aree di \(A\), \(A_1\) e \(A_2\), si può sicuramente affermare che \(S_{A_1}\), sarà uguale ad una frazione di \(S_A\), e che \(S_{A_2}\) sarà uguale alla complementare di \(S_{A_1}\) rispetto a \(S_A\). In formule:
\(S_{A_1} = \chi(q_s) S_A\)
\(S_{A_2} = (1 - \chi(q_s)) S_A\)
dove \(\chi(q_s): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) e, \(\chi \in [0,1]\), ovviamente, visto che \(S_A\) deve essere una combinazione convessa di \(S_{A_1}\) e \(S_{A_2}\).
Infatti per \(\chi =1\ \Rightarrow S_{A_1} = S_A\) mentre per \(\chi =0\ \Rightarrow S_{A_1} = 0\) e \( S_{A_2} = S_A\).
Inoltre, \(\chi\) dovrà essere funzione di \(q_s\), cioè l'ordinata all'origine della retta \(s\), in sostanza la variabile che la parametrizza: per quanto strana e complicata possa essere l'espressione analitica di \(\chi(q_s)\), sicuramente essa è una funzione continua su \([0,1]\) e, assumendo entrambi i valori estremi 0 e 1, necessariamente \(\exists q_s \in \mathbb{R}: \chi(q_s) = \frac{1}{2}\).
Ovviamente la rappresentazione della retta non include il caso di rette parallele all'asse \(y\). In questo caso si può scrivere la retta \(s\) come \(x = q_s\) e la dimostrazione risulta ancora valida.
Deve esistere necessariamente una retta \(s: y = mx + q_s\) parallela a \(r: y = mx + q_r\) che intersechi l'insieme \(A\). Dal momento che \(A\) è connesso, tale retta lo divide esattamente in due parti: i due insiemi originati sezionando \(A\) mediante la retta \(s\), hanno aree che, sommate, devono restituire l'area di \(A\). Chiamando \(A_1\) e \(A_2\) tali insiemi e chiamando per semplicità \(S_A\), \(S_{A_1}\), \(S_{A_2}\) rispettivamente le aree di \(A\), \(A_1\) e \(A_2\), si può sicuramente affermare che \(S_{A_1}\), sarà uguale ad una frazione di \(S_A\), e che \(S_{A_2}\) sarà uguale alla complementare di \(S_{A_1}\) rispetto a \(S_A\). In formule:
\(S_{A_1} = \chi(q_s) S_A\)
\(S_{A_2} = (1 - \chi(q_s)) S_A\)
dove \(\chi(q_s): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) e, \(\chi \in [0,1]\), ovviamente, visto che \(S_A\) deve essere una combinazione convessa di \(S_{A_1}\) e \(S_{A_2}\).
Infatti per \(\chi =1\ \Rightarrow S_{A_1} = S_A\) mentre per \(\chi =0\ \Rightarrow S_{A_1} = 0\) e \( S_{A_2} = S_A\).
Inoltre, \(\chi\) dovrà essere funzione di \(q_s\), cioè l'ordinata all'origine della retta \(s\), in sostanza la variabile che la parametrizza: per quanto strana e complicata possa essere l'espressione analitica di \(\chi(q_s)\), sicuramente essa è una funzione continua su \([0,1]\) e, assumendo entrambi i valori estremi 0 e 1, necessariamente \(\exists q_s \in \mathbb{R}: \chi(q_s) = \frac{1}{2}\).
Ovviamente la rappresentazione della retta non include il caso di rette parallele all'asse \(y\). In questo caso si può scrivere la retta \(s\) come \(x = q_s\) e la dimostrazione risulta ancora valida.
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