Esercizio su applicazioni lineari
Buonasera,
mi trovo di fronte ad il seguente esercizio:
Si consideri l'applicazione lineare $f: RR^3 -> RR^3$ definita da:
$f(x,y,z)=(y+z,x+z,-x-y-2z)$,
determinare per quale valore di $h$ il vettore $\vec{v}(1,h+2,h)$ appartiene a $kerf$ e per quale valore di $h$ si ha che $\vec{v}$ appartiene a $imf$.
Dunque, per definizione di nucleo, so che $\vec{v}$ appartiene a $kerf$ se e solo se $f(\vec{v})=\vec{0}$ ed anche, detta $A$ la matrice associata alla $f$ lineare, $\vec{v}$ appartiene a $kerf$ se e solo se $A\vec{v}=\vec{0}$
Dunque andrei ad impostare una cosa del genere:
$((0,1,-1),(1,0,-1),(1,1,-2))*((1),(h+2),(h))=((0),(0),(0))$
Ma onestamente non sono certa che sia corretta...forse non dovrei scrivere le componenti del vettore v? Chiedo vostri suggerimenti...
mi trovo di fronte ad il seguente esercizio:
Si consideri l'applicazione lineare $f: RR^3 -> RR^3$ definita da:
$f(x,y,z)=(y+z,x+z,-x-y-2z)$,
determinare per quale valore di $h$ il vettore $\vec{v}(1,h+2,h)$ appartiene a $kerf$ e per quale valore di $h$ si ha che $\vec{v}$ appartiene a $imf$.
Dunque, per definizione di nucleo, so che $\vec{v}$ appartiene a $kerf$ se e solo se $f(\vec{v})=\vec{0}$ ed anche, detta $A$ la matrice associata alla $f$ lineare, $\vec{v}$ appartiene a $kerf$ se e solo se $A\vec{v}=\vec{0}$
Dunque andrei ad impostare una cosa del genere:
$((0,1,-1),(1,0,-1),(1,1,-2))*((1),(h+2),(h))=((0),(0),(0))$
Ma onestamente non sono certa che sia corretta...forse non dovrei scrivere le componenti del vettore v? Chiedo vostri suggerimenti...
Risposte
Sì che è corretto! Devi risolvere il sistema
$2h+2=0,\ 1+h=0,\ -3-3h=0$
(Attenta a come scrivi la matrice!)
$2h+2=0,\ 1+h=0,\ -3-3h=0$
(Attenta a come scrivi la matrice!)
Ok!Grazie mille... Ma la matrice non dovrebbe avere per colonne le immagini dell'applicazione? Oppure ho compreso male la teoria o sto confondendo qualcosa?
Inoltre per quanto riguarda la parte riguardante l'immagine della funzione:
Ho calcolato il rango della matrice (scritta correttamente) associata alla funzione e ho trovato che $rgA=2$. Questo implica che l'immagine di f è il sottospazio generato da due vettori $\vec c_1$ e $\vec c_2$ che posso estrarre dalle colonne della matrice...Ma tali colonne non dipendono dal parametro quindi perché mi si chiede di determinare per quale valore di $h$ si ha che $\vec v$ appartiene a $imf$? Forse per gli $h$ che sostituiti in $\vec v$ mi danno $\vec c_1$ e $\vec c_2$?
Ho calcolato il rango della matrice (scritta correttamente) associata alla funzione e ho trovato che $rgA=2$. Questo implica che l'immagine di f è il sottospazio generato da due vettori $\vec c_1$ e $\vec c_2$ che posso estrarre dalle colonne della matrice...Ma tali colonne non dipendono dal parametro quindi perché mi si chiede di determinare per quale valore di $h$ si ha che $\vec v$ appartiene a $imf$? Forse per gli $h$ che sostituiti in $\vec v$ mi danno $\vec c_1$ e $\vec c_2$?
Per determinare la matrice associata, devi vedere come sono fatti i valori della funzione sulla base. Per cui
$f(e_i)=\sum_{j=1}^3 a_i^j e_j,\qquad i=1,2,3$ con $e_1=(1,0,0),\ e_2=(0,1,0),\ e_3=(0,0,1)$ e la matrice è $A=[a_i^j]^T$ (trasposta)
Si ha
$f(1,0,0)=(0,1,-1),\ f(0,1,0)=(1,0,-1),\ f(0,0,1)=(1,1,-2)$
e quindi
$A=((0,1,-1),(1,0,-1),(1,1,-2))^T=((0,1,1),(1,0,1),(-1,-1,-2))$
Per la seconda domanda, quello che ti chiede è se esite un vettore $w=ae_1+be_2+ce_3$ tale che $f(w)=v$. Pensa un po' a come tradurre questa cosa sulla base di quello che hai affermato (che è corretto).
$f(e_i)=\sum_{j=1}^3 a_i^j e_j,\qquad i=1,2,3$ con $e_1=(1,0,0),\ e_2=(0,1,0),\ e_3=(0,0,1)$ e la matrice è $A=[a_i^j]^T$ (trasposta)
Si ha
$f(1,0,0)=(0,1,-1),\ f(0,1,0)=(1,0,-1),\ f(0,0,1)=(1,1,-2)$
e quindi
$A=((0,1,-1),(1,0,-1),(1,1,-2))^T=((0,1,1),(1,0,1),(-1,-1,-2))$
Per la seconda domanda, quello che ti chiede è se esite un vettore $w=ae_1+be_2+ce_3$ tale che $f(w)=v$. Pensa un po' a come tradurre questa cosa sulla base di quello che hai affermato (che è corretto).
Intanto grazie mille per le risposte!
Dunque, per la seconda domanda ho ragionato così:
Richiedere che $\vec v=(1,h+2,h)$ appartenga a $Imf$ significa che esso deve potersi scrivere (come mi hai fatto notare tu) come combinazione lineare di due vettori(due perché l'immagine è il sottospazio generato da due vettori) cioè:
$\vec v=a\vec v_1+b\vec v_2$
che equivale ad un sistema che ha per soluzione $h=0$
Posso così concludere che $\vec v$ appartiene a $Imf$ se e solo se $h=0$
Giusto?
Dunque, per la seconda domanda ho ragionato così:
Richiedere che $\vec v=(1,h+2,h)$ appartenga a $Imf$ significa che esso deve potersi scrivere (come mi hai fatto notare tu) come combinazione lineare di due vettori(due perché l'immagine è il sottospazio generato da due vettori) cioè:
$\vec v=a\vec v_1+b\vec v_2$
che equivale ad un sistema che ha per soluzione $h=0$
Posso così concludere che $\vec v$ appartiene a $Imf$ se e solo se $h=0$
Giusto?
Non ho fatto i conti, ma la strada da seguire è quella.
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