Esercizio su applicazioni lineari

[Mikepicker]

Salve a tutti,

mi è sorto un piccolo dubbio durante lo svolgimento del seguente esercizio:

trovare una base dell' immagine di f dove

$f((x),(y),(z)) = ((x-y),(x+z))$

Io ho semplicemente preso le basi canoniche di $R^3$, le ho trasformate, e ho preso in considerazione i vettori linearmente indipendenti. E' corretto?

Grazie tante

[cirasa]

Sì, giusto, in questo modo hai preso appunto una base di [tex]Im\ f=f(\mathbb{R}^3)=Span\{\,f(e_1),f(e_2),f(e_3)\,\}[/tex].
[tex]Im\ f[/tex] dovrebbe avere dimensione [tex]2[/tex].

[Mikepicker]

Perfetto! Grazie!

[cirasa]

Prego!

[Mikepicker]

Scusate un'ultima cosa..

se ho la seguente applicazione lineare

$f((a,b),(c,d)) = ((a+d),(b+c))$ (dove al primo membro c'è proprio una matrice)

come faccio a trovare la matrice associata rispetto alle basi canoniche M(2; 2;R) e $R^2$?

[cirasa]

Devi semplicemente usare la definizione di matrice associata.
Prendi la base canonica di $M(2,2;RR)$ formata dalle matrici
$((1,0),(0,0))$, $((0,1),(0,0))$, $((0,0),(1,0))$, $((0,0),(0,1))$
Calcola il valore della funzione in queste quattro matrici, trovando i coefficienti rispetto alla base canonica di $RR^2$ e mettili in colonna.
Otterrai una matrice $2\times 4$.

[Mikepicker]

Quindi verrà fuori la seguente matrice:

$((1,0,0,1),(0,1,1,0))$ Giusto?

[cirasa]

[Mikepicker]

Quando i dubbi più stupidi sono i più ostili.. Grazie ancora!