Esercizio su applicazioni lineari 2

[trapaco]

Ciao ragazzi/e...

vorrei proporvi un esercizio che non riesco a portare a termine..spero che mi possiate essere d'aiuto

(ps: il topic e' chiamato "Esercizio su applicazioni lineari 2" perche' in passato era gia stato proposto un altro topic con il nome "Esercizio su applicazioni lineari" )

Veniamo a noi...la Traccia e' la seguente:

Siano $U$ e $V$ i seguenti sottospazi di $RR^4$:
$U = {(x,y,z,w)^t : x+z=0 , y-z+w=0}$
$V = <(1,2,-1,-2)^t,(0,1,0,-1)^t,(1,0,-1,0)^t >$
$a-$ Trovare la dimensione e una base di $U$, $V$, $U nn V$, $U+V$;
$b-$ Stabilire se esiste un'applicazione lineare $A$ da $RR^4 -> RR^4$ con nucleo $U$ e immagine $U nn V$ e in caso affermativo se ne dia un esempio con relativa matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio.
$c-$ Stabilire se esiste un'applicazione lineare $B$ da $RR^4 -> RR^4$ con nucleo $U$ e immagine $U$ e in caso affermativo se ne dia un esempio con relativa matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio.
$d-$ Stabilire se esiste un'applicazione lineare $C$ da $RR^4 -> RR^4$ con nucleo $U$ e immagine $U+V$ e in caso affermativo se ne dia un esempio con relativa matrice rappresentativa rispetto alle basi canoniche del dominio e del codominio.


Io in questo esercizio riesco a svolgere il punto $a$, mentre per gli altri mi blocco...

Per quanto riguarda il punto $a$ e il calcolo delle basi e dimensioni,
Base di $U$:
Un generico vettore di $U$ può essere scritto come $u = (-z,z-w,z,w) $ quindi le basi sono:
$u_1=(-1,1,1,0)$ e $u_2=(0,-1,0,1)$
quindi $dimU=2$
Base di $V$:
Dai tre vettori dati nella traccia..ottengo che due sono linearmente indipendenti, quindi $dimV=2$ e sono base:
$v_1=(1,2,-1,-2)$ e $v_2=(0,1,0,1)$
Base di $U+V$:
Metto in una matrice le basi di $U$ e $V$
$(u_1,u_2,v_1,v_2)$
e faccio al riduzione a gradini, dal rango della matrice ottengo la dimensione e la base di $U+V$ che risulta:
$<(1,2,-1,-2),(0,1,0,1),(-1,1,1,0)>$

Infine per $U nn V$,
utilizzo la formula di Grassman:
$dim(UnnV)=dimU + dim V - dim(U+V) == 1$

e per la base??

Mentre per gli altri punti dell'esercizio sono bloccato...[size=150]potete aiutarmi??[/size]

[size=150]GRAZIE MILLE[/size] come sempre...
ciaoo

[kamal1]

b- non esiste nessuna applicazione lineare da $RR^4$ -->$RR^4$ di nucleo $U$ e di immagine $U$$nn$$V$.infatti
col teorema di rango avremmo dim$RR^4$=4=dim$U$+dim$U$$nn$$V$=2+1=3 impossibile.
c- il sottospazio $U$ è di base {$u_1=(-1,1,10)$,$u_2=(0,-1,0,1)$} sia f una applicazione lineare di nucleo e di immagine $U$
sia e=($e_1$,$e_2$,$e_3$,$e_4$) la base canonica di $RR^4$ $AA$i di {1,2,3,4} $EE$ $\alpha_i$, $\beta_i$ tale f($e_i$)=$\alpha_i$$u_1$+$\beta_i$$u_2$.
siccome ker(f)=$U$ dobbiao avere f($u_1$)=f($u_2$)=0 quindi dopo avero sviluppato i calcoli troviamo,
$\alpha_1$=$\alpha_2$+$\alpha_3$ e $\alpha_2$=$\alpha_4$
anche $\beta_1$=$\beta_2$+$\beta_3$ e $\beta_2$=$\beta_4$
scegliamo $\beta_2$=0, $\beta_3$=1 e $\alpha_3$=$\alpha_2$=1

la matrice A=$((-2,-1,-1,-1),(1,1,0,1),(2,1,1,1),(1,0,1,0))$ rapresenta una applicazione lineare di $RR^4$ di nucleo e immagine $U$
d-impossibile per il teorema del rango avremo dim$RR^4$=dim$U$+dim($U+V$)