Esercizio su applicazioni lineari
Ciao a tutti, chiedo gentilmente una mano su questo esercizio capitatomi in un test:
sia $L:R^3 -> R^2$ un'applicazione lineare tale che:
$L=((0, 1, 1))=(-1, 1)
L((-1, 0, 1))=(0, 0)
L=((1, 0, 0))=(-2, 2).$
a) Stabilire se L è unica.
b) Calcolare:
$L((1, 1, 1))
L^-1{(1, 0)}
L^-1{(1, -1)}.$
Riguardo il punto a) non ho nessuna idea di risposta. Il punto b) invece l'ho già incontrato in esercizi in cui dominio e codominio erano costituiti da vettori linearmente indipendenti. In quel caso non ho avuto problemi, ma questo è diverso e non so come fare.
Ringrazio in anticipo per ogni risposta
sia $L:R^3 -> R^2$ un'applicazione lineare tale che:
$L=((0, 1, 1))=(-1, 1)
L((-1, 0, 1))=(0, 0)
L=((1, 0, 0))=(-2, 2).$
a) Stabilire se L è unica.
b) Calcolare:
$L((1, 1, 1))
L^-1{(1, 0)}
L^-1{(1, -1)}.$
Riguardo il punto a) non ho nessuna idea di risposta. Il punto b) invece l'ho già incontrato in esercizi in cui dominio e codominio erano costituiti da vettori linearmente indipendenti. In quel caso non ho avuto problemi, ma questo è diverso e non so come fare.
Ringrazio in anticipo per ogni risposta
Risposte
ciao e buone feste prima di tutto 
passando al problema..... per il punto A devi capire se i vettori di cui vuoi calcolare l'immagine costituiscono una base o meno.
per il punto B invece:
la prima la puoi trovare come combinazione lineare delle immagini della definizione della tua applicazione lineare. devi quindi trovare la combinazione lineare che restituisce il vettore $(1,1,1)$ e per farlo puoi risolvere il sistema $ a ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) +b( ( -1),( 0 ),( 1 ) )+c( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ dopo di che fai i calcoli con le immagini.
per le altre due io troverei la funzione inversa, invertendo per esempio la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare e trovando le equazioni che descrivono l'applicazione inversa, e poi sostituendo i valori del vettori dei quali voglio calcolare l'immagine.
passando al problema..... per il punto A devi capire se i vettori di cui vuoi calcolare l'immagine costituiscono una base o meno.
per il punto B invece:
la prima la puoi trovare come combinazione lineare delle immagini della definizione della tua applicazione lineare. devi quindi trovare la combinazione lineare che restituisce il vettore $(1,1,1)$ e per farlo puoi risolvere il sistema $ a ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) +b( ( -1),( 0 ),( 1 ) )+c( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) $ dopo di che fai i calcoli con le immagini.
per le altre due io troverei la funzione inversa, invertendo per esempio la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare e trovando le equazioni che descrivono l'applicazione inversa, e poi sostituendo i valori del vettori dei quali voglio calcolare l'immagine.
Grazie mille in anticipo per la risposta nonostante la festività.
Ora potrei aver capito.
Dunque la risposta al punto a) è che effettivamente L è unica poiché i vettori $(0, 1, 1) (-1, 0, 1) (1, 0, 0)$ sono linearmente indipendenti.
Riguardo al punto b) i miei risultati sono:
$L(1, 1, 1) = (-3, 3)$
$L^-1{(1, 0)} = (-1, 0, -2)$
e $L^-1{(1, -1)} = (0, 0, -4).$
Chiedo gentilmente conferma per sicurezza. Grazie mille
Ora potrei aver capito.
Dunque la risposta al punto a) è che effettivamente L è unica poiché i vettori $(0, 1, 1) (-1, 0, 1) (1, 0, 0)$ sono linearmente indipendenti.
Riguardo al punto b) i miei risultati sono:
$L(1, 1, 1) = (-3, 3)$
$L^-1{(1, 0)} = (-1, 0, -2)$
e $L^-1{(1, -1)} = (0, 0, -4).$
Chiedo gentilmente conferma per sicurezza. Grazie mille
posta i calcoli che li controllo
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