Esercizio su applicazione lineare
Salve a tutti!!
Riuscite a darmi una mano su come si fa a risolvere tale esercizio:
Sia $T : R^3 -> R^3 $ l'applicazione lineare definita da
T(1,0,1)=(-1,0,1)
T(1,1,0)=(0,3,3)
T(0,1,1)=(-2,2,0)
a) Determinare T(x,y,z)
b) Calcolare Ker T e Im T
Grazie mille a tutti!!!
Riuscite a darmi una mano su come si fa a risolvere tale esercizio:
Sia $T : R^3 -> R^3 $ l'applicazione lineare definita da
T(1,0,1)=(-1,0,1)
T(1,1,0)=(0,3,3)
T(0,1,1)=(-2,2,0)
a) Determinare T(x,y,z)
b) Calcolare Ker T e Im T
Grazie mille a tutti!!!
Risposte
Ciao "mittico", benvenut*!
Hai qualche idea in mente?
Potrei risolverti l'esercizio in pochi minuti, ma a te non servirebbe a molto.
Mostraci invece quali sono i tuoi pensieri o le tue difficoltà, servirebbe anche agli utenti che hanno voglia di aiutarti
E poi non violeresti il regolamento (che ti invito a leggere) punti 1.2 e 1.4
Hai qualche idea in mente?
Potrei risolverti l'esercizio in pochi minuti, ma a te non servirebbe a molto.
Mostraci invece quali sono i tuoi pensieri o le tue difficoltà, servirebbe anche agli utenti che hanno voglia di aiutarti
E poi non violeresti il regolamento (che ti invito a leggere) punti 1.2 e 1.4
Purtroppo non saprei 
Mi manca l'input diciamo. Non so bene come partire per risolvere il punto a.
Come faccio a passare al T(x,y,z)?
Mi manca l'input diciamo. Non so bene come partire per risolvere il punto a.
Come faccio a passare al T(x,y,z)?
Osserva che
$(1,0,0)=1/2(1,0,1)+1/2(1,1,0)-1/2(0,1,1)$.
Secondo te, quanto vale $T(1,0,0)$?
Dovresti usare la linearità d $T$...
$(1,0,0)=1/2(1,0,1)+1/2(1,1,0)-1/2(0,1,1)$.
Secondo te, quanto vale $T(1,0,0)$?
Dovresti usare la linearità d $T$...
"cirasa":
Osserva che
$(1,0,0)=1/2(1,0,1)+1/2(1,1,0)-1/2(0,1,1)$.
Secondo te, quanto vale $T(1,0,0)$?
Dovresti usare la linearità d $T$...
Quindi $T(1,0,0) = 1/2 (-1,0,1) + 1/2 (0,3,3) - 1/2 (-2,2,0)$ ?
cioè $T(1,0,0) = (1/2, 1/2 , 2)$
Ah ok, forse ho capito:
quindi $ T(0,1,0) = (-1/2, 5/2, 1)$
e $T(0,0,1) = (-3/2, -1/2, -1)$
Quindi $T(x,y,z) = 1/2 (x-y-3z, x+5y-z, 4x-2y-2z)$
Giusto??
Ok.
Ora dovresti cercare di ottenere $T(0,1,0)$ e $T(0,0,1)$.
(E praticamente hai determinato la matrice di $T$ rispetto alla base canonica)
Infine, osservando che $(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)$ e usando ancora la linearità, concludi.
Ora dovresti cercare di ottenere $T(0,1,0)$ e $T(0,0,1)$.
(E praticamente hai determinato la matrice di $T$ rispetto alla base canonica)
Infine, osservando che $(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)$ e usando ancora la linearità, concludi.
"cirasa":
Ok.
Ora dovresti cercare di ottenere $T(0,1,0)$ e $T(0,0,1)$.
(E praticamente hai determinato la matrice di $T$ rispetto alla base canonica)
Infine, osservando che $(x,y,z)=x(1,0,0)+y(0,1,0)+z(0,0,1)$ e usando ancora la linearità, concludi.
Ops..stavo modificando il messaggio sopra
Grazie cirasa!
E' giusta la soluzione finale?
Per rispondere alla b invece guardo il rango della matrice, ke mi sembra risultare 3 ($dim Im V = 3$). Quindi dal teorema:
$dim V = dim Ker V + dim Im V$. Ma da questo deduco che $ker V = 0$, giusto o sto sbagliando?
Quindi $Ker V = 0
Im V = R^3$
$dim V = dim Ker V + dim Im V$. Ma da questo deduco che $ker V = 0$, giusto o sto sbagliando?
Quindi $Ker V = 0
Im V = R^3$
Non mi va di controllare i conti 
Se hai seguito lo stesso metodo che ti ho suggerito per il calcolo di $T(1,0,0)$, dovrebbe essere giusto...
E se è giusto il calcolo, è ok anche il punto b).
Se hai seguito lo stesso metodo che ti ho suggerito per il calcolo di $T(1,0,0)$, dovrebbe essere giusto...
E se è giusto il calcolo, è ok anche il punto b).
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