Esercizio spazio vettoriali
Salve...mi sto cimentando in questo periodo nello studio di spazi vettoriali e matrici...riesco agevolmente a fare esercizi del tipo dato un sottoinsieme dello spazio vettoriale V dire se è un sottospazio oppure dati i seguenti vettori...dire se sono linearmente dipendenti(indipendenti) però poi arrivati alle basi non so dove mettere mano.
So che una base B di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme di V non vuoto che soddisfa le seguenti proprietà:
1) B è linearmente indipendete
2) = V ovvero B è un insieme di generatori per V
detto questo la 2) ci porta a dire che ogni elemento di V può essere espresso come combinazione lineare di un numero finito di elementi di B.
Quindi se ho un esercizio del genere:
considerato lo spazio vettoriale R[x] con pedice 2...ovvero gli insieme di polinomi di grado 2 a coefficienti reali, se consideriamo l'insieme B={1,x,x^2} è evidente che ogni polinomio di grado al più 2 si scrive come combinazione lineare degli elementi di B e pertanto B è un insieme di generatori. Si verifica quindi che B è una base in quanto alfa*1 + beta*x + gamma*x^2=0 sse alfa=beta=gamma=0.
Lo capisco ed è tutto chiarissimo, però poi quando devo farne uno io nn riesco a pensare ad un insieme B che ha le caratteristiche della base per il mio spazio vettoriale di turno.
Detto ciò se io ad esempio prendo V={(x,y,z) | x-y+z=0} sottospazio di R^3 come trovo una base di V...e questo dovrebbe essere l'esercizio più facile del mondo.
Se invece ho un esercizio del genere: V=R^2, v1=(1,3), v2=(2,4), v3=(-1,0) si determini una base per {v1,v2,v3} come devo fare??
E comunque in generale ci sono delle tecniche per trovare più facilmente le basi??
Grazie a tutti
So che una base B di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme di V non vuoto che soddisfa le seguenti proprietà:
1) B è linearmente indipendete
2) = V ovvero B è un insieme di generatori per V
detto questo la 2) ci porta a dire che ogni elemento di V può essere espresso come combinazione lineare di un numero finito di elementi di B.
Quindi se ho un esercizio del genere:
considerato lo spazio vettoriale R[x] con pedice 2...ovvero gli insieme di polinomi di grado 2 a coefficienti reali, se consideriamo l'insieme B={1,x,x^2} è evidente che ogni polinomio di grado al più 2 si scrive come combinazione lineare degli elementi di B e pertanto B è un insieme di generatori. Si verifica quindi che B è una base in quanto alfa*1 + beta*x + gamma*x^2=0 sse alfa=beta=gamma=0.
Lo capisco ed è tutto chiarissimo, però poi quando devo farne uno io nn riesco a pensare ad un insieme B che ha le caratteristiche della base per il mio spazio vettoriale di turno.
Detto ciò se io ad esempio prendo V={(x,y,z) | x-y+z=0} sottospazio di R^3 come trovo una base di V...e questo dovrebbe essere l'esercizio più facile del mondo.
Se invece ho un esercizio del genere: V=R^2, v1=(1,3), v2=(2,4), v3=(-1,0) si determini una base per {v1,v2,v3} come devo fare??
E comunque in generale ci sono delle tecniche per trovare più facilmente le basi??
Grazie a tutti
Risposte
"jdluk87":
Detto ciò se io ad esempio prendo V={(x,y,z) | x-y+z=0} sottospazio di R^3 come trovo una base di V...e questo dovrebbe essere l'esercizio più facile del mondo.
Supponendo che $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$, se l'equazione cartesiana di $V$ è $x - y + z = 0$, allora $x = y - z$, ossia il generico vettore di tale spazio è
$((y - z),(y),(z)) = y ((1),(1),(0)) + z ((-1),(0),(1))$ (dove $y, z \in \mathbb{R}$, ovviamente)
e quindi
$\{((1),(1),(0)), ((-1),(0),(1))\}$
è una base per $V$.
"jdluk87":
Se invece ho un esercizio del genere: V=R^2, v1=(1,3), v2=(2,4), v3=(-1,0) si determini una base per {v1,v2,v3} come devo fare??
Costruisci una matrice che ha per righe (colonne) i vettori $v_1$, $v_2$, $v_3$ e poi riduci tale matrice a scala per righe (colonne). Fatto questo le righe (colonne) diverse dal vettore nullo saranno gli elementi di una base da te cercata.
come sempre chiarissimo...solo una cosa...che vuol dire ridurre a scala per righe(colonne) una matrice??
Con costruire una matrice che ha per righe (colonne), ridurre per righe (colonne), ... intendevo dire che puoi costruire la matrice sistemando i vettori sia come righe che come colonne. Non c'è differenza, a patto che: se costruisci la matrice considerando i vettori come righe, allora devi ridurre per righe, e i vettori risultanti saranno righe, se invece costruisci la matrice considerando i vettori come colonne, devi fare le stesse cose ma operando sempre e solo sulle colonne,
Era questo il dubbio o non sai come fare a ridurre una matrice a scala?
Era questo il dubbio o non sai come fare a ridurre una matrice a scala?
no questo era chiaro...è come ridurre la matrice a scala che nn so cosa significa
Ho provato a cercare al volo l'argomento su Wikipedia, ma non l'ho trovato, provo a spiegartelo io, spero di essere chiaro... Per prima cosa le operazioni elementari sulle righe di una matrice sono
1) moltiplicazione di una riga per una costante non nulla
2) somma di due righe
3) scambio di due righe
Così se tu avessi una matrice del tipo $A = (v_1 | v_2 | \ldots | v_n)^T$, volendo eseguire un'operazione elementare sulla riga $v_i$ potresti o moltiplicare $v_i$ per $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, o sostituire $v_i$ con $v_i + v_j$, dove $v_j$ è un'altra riga della matrice, oppure scambiare due righe (che so, scrivere $v_j$ al posto di $v_i$ e $v_i$ al posto di $v_j$.
Detto questo... Il pivot di una riga è il primo elemento (partendo da sinistra) non nullo della riga. Una matrice si dice a scala quando tutti gli elementi sotto ogni pivot sono nulli.
Quando si dice ridurre una matrice a scala si intende effettuare operazioni elementari su una matrice fino a ridurla a scala.
Non so quanto possa essere chiaro, ti faccio un esempio. Considera la matrice
$((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$
e supponiamo di volerla ridurre a scala. Per prima cosa si può scambiare la prima riga con l'ultima, ottenendo
$((7,8,9),(4,5,6),(1,2,3))$
moltiplicando l'ultima riga per $3$ si ottiene
$((7,8,9),(4,5,6),(3,6,9))$
sommando alla seconda la terza si ottiene
$((7,8,9),(7,11,15),(3,6,9))$
sottraendo alla seconda la prima
$((7,8,9),(0,3,6),(3,6,9))$
moltiplicando la terza per $\frac{7}{3}$ si ottiene
$((7,8,9),(0,3,6),(7,14,21))$
sottraendo alla terza la prima
$((7,8,9),(0,3,6),(0,6,12))$
moltiplicando per due la seconda riga si ottiene
$((7,8,9),(0,6,12),(0,6,12))$
sottraendo alla seconda la terza
$((7,8,9),(0,6,12),(0,0,0))$
e dividendo la seconda per $6$ (questo passaggio in realtà sarebbe superfluo)
$((7,8,9),(0,1,2),(0,0,0))$
Questa è la (anzi, una) matrice ridotta a scala (modulo, ovviamente, errori di calcolo). Spero sia chiaro, altrimenti chiedi pure.
PS: ho ragionato sulle righe, discorso analogo vale, ovviamente, per le colonne.
1) moltiplicazione di una riga per una costante non nulla
2) somma di due righe
3) scambio di due righe
Così se tu avessi una matrice del tipo $A = (v_1 | v_2 | \ldots | v_n)^T$, volendo eseguire un'operazione elementare sulla riga $v_i$ potresti o moltiplicare $v_i$ per $\lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, o sostituire $v_i$ con $v_i + v_j$, dove $v_j$ è un'altra riga della matrice, oppure scambiare due righe (che so, scrivere $v_j$ al posto di $v_i$ e $v_i$ al posto di $v_j$.
Detto questo... Il pivot di una riga è il primo elemento (partendo da sinistra) non nullo della riga. Una matrice si dice a scala quando tutti gli elementi sotto ogni pivot sono nulli.
Quando si dice ridurre una matrice a scala si intende effettuare operazioni elementari su una matrice fino a ridurla a scala.
Non so quanto possa essere chiaro, ti faccio un esempio. Considera la matrice
$((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$
e supponiamo di volerla ridurre a scala. Per prima cosa si può scambiare la prima riga con l'ultima, ottenendo
$((7,8,9),(4,5,6),(1,2,3))$
moltiplicando l'ultima riga per $3$ si ottiene
$((7,8,9),(4,5,6),(3,6,9))$
sommando alla seconda la terza si ottiene
$((7,8,9),(7,11,15),(3,6,9))$
sottraendo alla seconda la prima
$((7,8,9),(0,3,6),(3,6,9))$
moltiplicando la terza per $\frac{7}{3}$ si ottiene
$((7,8,9),(0,3,6),(7,14,21))$
sottraendo alla terza la prima
$((7,8,9),(0,3,6),(0,6,12))$
moltiplicando per due la seconda riga si ottiene
$((7,8,9),(0,6,12),(0,6,12))$
sottraendo alla seconda la terza
$((7,8,9),(0,6,12),(0,0,0))$
e dividendo la seconda per $6$ (questo passaggio in realtà sarebbe superfluo)
$((7,8,9),(0,1,2),(0,0,0))$
Questa è la (anzi, una) matrice ridotta a scala (modulo, ovviamente, errori di calcolo). Spero sia chiaro, altrimenti chiedi pure.
PS: ho ragionato sulle righe, discorso analogo vale, ovviamente, per le colonne.
chiarissimo...devo fare operazioni sulle matrici...quelle che hai detto tu...fino a che non ottengo una matrice a scala come l'hai definita tu...chiaro grazie ancora
ciao ho provato a fare un esercizio ovvero il seguente...la mia matrice è formata da 3 righe corrispondenti ai vettori v1,v2,v3, dove v1=1,3 v2=2,4 v3=-1,0 allora ho una matrice 3x2...quindi sommo alla seconda riga la terza una prima volta...quindi una seconda volta ed ho una matrice cosi formata: prima riga = 1 3 seconda riga= 0 4 terza riga = -1 0...questa se non sbaglio per come me l'hai definita tu è a scala quindi il procedimento è concluso e la mia base è formata dai vettori w1=1,3 w2=0,4 w3=-1,0 me lo confermi?
Per prima cosa una precisazione: nella definizione di matrice a scala che ti avevo dato mi è sfuggito un particolare, ovvero prima di verificare che gli elementi sotto ad ogni pivot sono nulli, si devono disporre ordinare le righe della matrice in modo che, per ogni riga, il suo pivot sia più a sinistra del pivot di ogni riga successiva (secondo questo ragionamento le righe nulle, se ci sono, vanno a finire in fondo).
Detto questo, quando vai a sommare alla seconda riga la terza ottieni
$((1,3),(1,4),(-1,0))$
che non è a scala. Ma anche la matrice
$((1,3),(0,4),(-1,0))$
non è a scala, dato che sotto al pivot della prima riga (cioè $1$) c'è un elemento non nullo, ovvero il $-1$ della terza riga.
PS: per scrivere le matrici e le formule in generale usa la sintassi MathML, trovi una guida qui.
Detto questo, quando vai a sommare alla seconda riga la terza ottieni
$((1,3),(1,4),(-1,0))$
che non è a scala. Ma anche la matrice
$((1,3),(0,4),(-1,0))$
non è a scala, dato che sotto al pivot della prima riga (cioè $1$) c'è un elemento non nullo, ovvero il $-1$ della terza riga.
PS: per scrivere le matrici e le formule in generale usa la sintassi MathML, trovi una guida qui.
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