Esercizio spazio vettoriale

[_peter_]

Salve ragazzi vi pongo questo esercizio:
Sia
$ U={(x,y,z,w) epsilon R^4 rarr 4x+7z-2w=0=2x+y+2z=0} $
Allora:
1) $ U^⊥ =Span {(3,-2,-2,-1);(1,-2,0,2)} $
2) $ U^⊥=Span {(6,5,3,2);(0,2,-3,2)} $
3) $ U^⊥={(x,y,z,w) epsilon R^4 rarr 2x+2z+3w=0=7x+6y+4z} $
4) $ U^⊥={(x,y,z,w) epsilon R^4 rarr 6x+y+9z-2w=0=4y-3z+2w} $
la risposta giusta è la 2 ma non capisco come abbia fatto, mi potete dire come si fa per favore? il 12 ho l'esame di geometria

[Sk_Anonymous]

Trova prima una base A di U al seguente modo.
Dalle equazioni di U ricavi il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}y=-2x-2z\\w=2x+\frac{7}{2}z\end{cases} \)
Ponendo $x=0,z=2$ hai $y=-4,w=7$
Ponendo $x=1,z=-2$ hai $y=2,w=-5$
E quindi risulta :
$A=Span{(0,-4,2,7),(1,2,-2,-5)}$
Adesso devi verificare che ogni vettore che compone la base A è ortogonale ( secondo l'ordinario prodotto scalare)
a tutti vettori che compongono le basi dei sottoinsiemi (1), (2),(3),(4). Per i primi due la cosa è facile perché di essi hai già le basi, Per gli altri due devi prima trovarne una base nel medesimo modo con cui hai trovato A e poi verificare l'ortogonalità.

[_peter_]

grazie mille!!!!