Esercizio spazi vettoriali.

[beck_s]

Potete aiutarmi a risolvere il seguente esercizio, non riesco bene a capirlo.

Nello spazio vettoriale C^3 (con C insieme dei numeri complessi) si considerino i seguenti sottoinsiemi.
(1)X1= ${[a1, a2, a3]T | a2=0}$
(2)X2= ${[a1, a2, a3]T | a1 + a2 - a3 = 1}$
(3)X3= ${[a1, a2, a3]T | a1 + a2 - a3 = 0}$
(4)X4= ${[a1, a2, a3]T | a1^2 + a2^2 = 0}$
e si dica quali sono sottospazi e quali no.
*T sta per trasposto ma credo si intuisca
Allora io ci ho provato e:
X1 secondo me è un sottospazio perchè se a1=a3=0 la prima "proprietà" è un vettore nullo e la prima proprietà è verificata. e le altre due proprità bho secondo me pure ma nn so come verificarle!!
X2 non è un sottospazio perchè la somma degli elementi da 1 e quindi il vettore nullo non appartiene a X2.

Potete aiutarmi?
ciao e grazie.

[mistake89]

basta osservare che le equazioni di uno spazio vettoriale devono essere lineari omogenee...

[fu^2]

parafrasando quello detto da mistake89, qual'è la definizione di sottospazio vettoriale?...

[beck_s]

So qual'è la definizione, non so così idiota da farvi la domanda senza nemmeno guardarmi la definizione di spazio vettoriale .
deve avere vettore nullo e la moltiplicazione per uno scalare e la somma di due vettori deve dare come risultato un vettore appartenente al sottospazio.
Io vorrei chiedervi se gentilmente potete mostrarmi la risoluzione di uno dei 4 tanto per avere un' idea del procedimento anche perchè non capisco la parte al di là della barra cosa sta a significare.
Cioè così ad occhio direi che sono tutti sottospazi tranne il secondo...
Ciao e grazie delle risposte.

[Camillo]

Quello che sta "al di là della barra " è la definizione del sottoinsieme o sottospazio .
Ad esempio per il terzo esercizio $ a_1,a_2,a_3 $ sono tali che $a_1+a_2-a_3 =0 $
Ti hanno detto tutto quanto necessario per risolvere l'esercizio; comunque sempre il caso 3 posso rappresentare così il generico elemento $(a_1,a_2, a_1+a_2)$.
E adesso applica la definzione di sottospazio vettoriale