Esercizio spazi vettoriali

[edo091]

Salve,
da giorni sono alle prese con il seguente esercizio, che non riesco a risolvere; qualcuno è così gentile da indicarmi la strada maestra?
Grazie in anticipo

Sia $\U={(x,y,z,w)\ \in R^4$$/4x+7z-2w=0=2x+y+2z=0}$. Allora:

1)$\U^bot={(x,y,z,w)inR^4$ $/ 6x+y+9z-2w=0=4y-3z+2w=0}$

2)Nessuna delle altre risposte

3)$U^bot=Span{(6,5,3,2);(0,2,-3,2)}$

4)$U^bot=Span{(3,-2,-2,-1);(1,-2,0,2)}$

5)$U^bot={(x,y,z,w)inR^4$ $/2x+2z+3w=0=7x+6y+4z=0}$

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Immagino che il sottospazio vettoriale $U$ fosse definito così:

$U={(x,y,z,w)inRR^4|4x+7y-2w=0,2x+y+2z=0}$

Tenendo conto che

$4x+7y-2w=0 Rightarrow w=2x+7/2z$

e che

$2x+y+2z=0 Rightarrow y=-2x-2y$

si ha che

$U={(x,-2x-2z,z,2x+7/2z)|x,zinRR}={x(1,-2,0,2)+z(0,-2,1,7/2)|x,zinRR}$

cioè:

$U=Span{(1,-2,0,2);(0,-2,1,7/2)}$

Si consideri, ora, $(a,b,c,d)inU^bot$; bisogna richiedere che quest'ultimo vettore sia ortogonale ai due vettori che generano il sottospazio $U$:

${((1,-2,0,2)*(a,b,c,d)=0),((0,-2,1,7/2)*(a,b,c,d)=0):} Rightarrow {(a-2b+2d=0),(-2b+c+7/2d=0):}$

Lascio a te i conti e le verifiche finali.

Saluti.

P.S. Probabilmente gli ultimi conti che avevo svolto avranno un'utilità relativa, visto che, nel problema, compaiono già dei suggerimenti di risposta.