Esercizio spazi $ T_1$

[sira2]

Buon pomeriggio. Propongo un esercizio che ho provato a svolgere:
Sia $ X $ uno spazio $ T_1 $ senza punti isolati. Dimostrare che ogni aperto non vuoto di $ X $ contiene infiniti punti
Se $ X $ è $ T_1 $ e non possiede punti isolati , allora ogni intorno $ U $ di $ x $ non possiede punti isolati. Ma quindi ogni punto $ x in U $ è di accumulazione $\rightarrow U $ possiede infiniti punti
Non so perché, ma mi sembra troppo banale risolverlo in questo modo, sicuramente c'è qualcosa che non va

[j18eos]

Sono sicuro che da qualche parte c'è un errore, anche se non lo vedo, sono sicuro che c'è!

[ot]Un gesuita che, per sua stessa ammissione, non è andato oltre la matematica liceale, e ha contestato il mio lavoro di ricerca; quest'ultimo dichiarato "valido" dal mio ex-relatore di tesi magistrale.[/ot]Inizia col dimostrare che \(\displaystyle X\) è un insieme con infiniti punti!

Indizio: se \(\displaystyle X\) fosse un insieme finito...

[sira2]

Grazie come sempre per la risposta (in questi giorni mi stai salvando)
(comunque sì, più o meno faccio come quello con me stessa )
Se $ X $ fosse finito e $ T_1 $ sarebbe discreto ( ed è anche $ T_2$). Allora tutti i punti di $ X $ sarebbero isolati $\Rightarrow $ contraddizione perché $ X $ non possiede punti isolati. Allora l' intorno di ogni punto possiede infiniti punti e ogni punto è di accumulazione. Quindi $ U $ ( che è un intorno aperto) possiede infiniti punti

[j18eos]

Eh no!, non basta per affermare che il generico insieme aperto ha infiniti punti; di nuovo per assurdo: esista un insieme aperto \(\displaystyle A\) finito, che succede?

[sira2]

Grazie ancora. Sia $ A $ un aperto di $ X $. Allora anche $A $ è finito ed è discreto. Allora ogni punto è un intorno di sé stesso, quindi il più piccolo intorno è dato da un punto singolo. Ma $ X $ non ha punti isolati, quindi $ A $ non non può contenere un solo punto ( o un numero finito di punti)

[j18eos]

Esatto!

[sira2]

Grazie mille