Esercizio spazi affini

[junior88smile]

Fissato nello spazio affine euclideo $ E^{ 4} $ R un riferimento cartesiano ortonormale R=(O,R), sia L il sottospazio generato dai punti A(0,0,0,1), B(1,-1,1,1), C(1,-1,2,1), D(0,0,1,1) e siao L' il sottospazio di equazione x-y+z=0
(1) Si determinino la dimensione e le equazioni ordinarie di L.
Allora io mi sono calcolata L=[AvBvCvD] dove AB=(1,-1,1,O) AC=(1,-1,2,O) AD=(0,0,1,0) dunque la dimensione di L=dim[AvBvCvD]=rg $ ( (AB),(AC),(AD) ) $ =rg $ ( (1,-1,1,0),(1,-1,2,0),(0,0,1,2) ) $ =2 quindi L è un piano di equazioni ordinaria: $ { (x+y=0),(t=1):} $ ; dove la giacitura di L=[(-1,1,0,0)(0,0,1,0)] e la giacitura di L ha dimensione 2.
(2) Si determinino la dimensione ed un sistema massimo di punti affinemente indipendenti di L'.
Dunque L' ha equazione x-y+z=0 , allora la dimensione di L'=4- rg(1,-1,1,0)= 3 quindi L' è un iperpiano e la giacitura di L' è [(1,1,0,0)(-1,0,1,0)(0,0,0,1)] che ha dimensione 3. Ora ponendo u=(1,1,0,0) ; v=(-1,0,1,0) ; w=(0,0,0,1) e prendeno A=(0,0,1,0) ottengo che A,A+u,A+v,A+w sono un sistema massimo di punti affinemente indipendente.
(3) Si studi il sottospazio $ L nn L' $ , e si dica se L ed L' sono paralleli o ortogonali, motivando la risposta.
Allora mi sono calcolata
$ L nn L' $ =[(-y,y,2y,0)]=[(-1,1,2,0)] quindi la dimensione di $ L nn L' $ è uguale a 1.
Per vedere se L ll L' metto sotto forma di matrice la giacitura di L e la giacitura di L' e vedo se il determinante è uguale a 0, facendo ciò ottengo che $ | ( giacitura di L ),( giacitura di L' ) | $ è diversa da 0 quindi L ed L' non sono paralleli.
Per vedere l'ortogonalità totale invece deve essere $ giacitra di L sube giacitura di L' perp $ dove raticamente ottengo che la giacitura di L' perp=[(1,-1,1,0)] e quindi L è totalmente ortogonale a L'.
Mentre per quanto riguarda l'ortogonalità parziale deve essere $ giacitura di L perp sube giacitura di L' $ dove la giacitura di L perp=[(1,1,0,0)(0,0,0,1)] e quindi L è parzialmente ortogonale a L'.
(4) Si studi il sottospazio affine H=OvL, determinandone la dimensione, le equazioni ed un sistema massimo di punti affinemente indipendenti.
Allora su questo punto ho un pò di problemi, perchè non sono sicura su H che per me H=L(O,[OvAvBvCvD] )= L(O,[OA,OB,OC,OD]) , giusto???