Esercizio spazi affini

[anto_zoolander]

Ciao

Ho svolto questo esercizio e volevo sapere se fosse un modo ottimale di risolverlo, o se ci fossero metodi migliori.

sia $A^3(RR)$ lo spazio affine numerico tridimensionale con riferimento cartesiano e base canonica.

date le rette $r: {(y-1=0),(x-z-3=0):}$ e $s: {(2x-y-1=0),(z=0):}$

Determinare la retta passante per l'origine complanare a $r$ e a $s$.


Allora io ho fatto questo ragionamento:
Intanto trovo i piani contententi le due rette e passanti per l'origine, con i fasci.

$m(y-1)+n(x-z-3)=0$ ovvero $m=-3n$ dunque il piano che contiene $r$ e passa per $O$ sarà $pi: x-3y-z=0$

Allo stesso modo trovo che il piano comtenente $s$ e passante per $O$ è $pi': z=0$

Ora poiché $t$ deve essere complanare a con $r$ e con $s$ deve essere $tsubseteqpi$ e $tsubseteqpi'$
Pertanto $tsubseteq picap pi'$ ovvero $giac(t)subseteqgiac(picap pi')$

Dunque l'intersezione è non vuota e i piani non sono paralleli per tanto $dim(giac(pi cap pi'))=1=dim(giac(t))$
Ovvero $giac(t)=giac(pi cap pi')$

Dunque la retta cercata è $O+giac(pi cap pi')$

Ovvero $O+ < (3,1,0) > $

[kobeilprofeta]

Se $t$ deve appartenere ad entrambi i piani, allora è la loro intersezione, quindi
$t={(x-3y-z=0),(z=0):}$

[anto_zoolander]

Si però se mi chiedessero di dimostrare questo fatto, sarebbe corretto farlo in questo modo?

[kobeilprofeta]

Non ho capito cosa intendi, aspetta magari che qualcun'altro sa darti risposta.

[anto_zoolander]

Generalizzo così magari ci capiamo.

Siamo in uno spazio affine di dimensione $n$
Ho due iperpiani $S,T$ incidenti pertanto si intersecano in uno spazio affine di dimensione $n-2$
Se voglio trovare uno sottospazio affine $E$ di dimensione $n-2$ contenuto in entrambi gli iperpiani significa che $E subseteqScapT$
Da questo deduciamo che $giac(E)subseteqgiac(ScapT)$ e inoltre $dim(E)=dim(ScapT)$
Pertanto $E$ è parallelo a $S capT$, $dim(E)=dim(ScapT)$ e l'intersione tra i due e non vuota perché $ScapT$ contiene $E$.
Pertanto c'è una proposizione che mi assicura che $E$ deve essere esattamente l'intersezione $ScapT$