Esercizio sottospazio vettoriale
salve ragazzi sto preparando l'esame di geometria e algebra lineare e mi è capitato di trovare questo esercizio, mi potete dire se è risolto bene?
traccia: $V=M_2(R)$ . si considerino i vettori $a_1=((1,0),(1,1))$ $a_2=((0,0),(1,0))$ $a_3=((3,0),(1,3))$
determinare la dimensione e una base di $w=l(a_1,a_2,a_3)$ , trovare le equazioni cartesiane per $w$ nella base canonica $B_0$ di $M_2(R)$.
io ho provato a risolverlo :
facendo la matrice dei tre vettori (in colonna) $a=((1,0,3),(0,0,0),(1,1,1),(1,0,3))$ ho calcolato il rango e mi viene $rg(a)=2$
prendendo come minore $a'=((1,1),(0,3))$
quindi la dimensione del sottospazio è 2 con la base $B={a_2,a_3}$ , per calcolare le equazioni cartesiane compongo la matrice
$c=((x,0,3),(y,0,0),(z,1,1),(t,0,3))$
calcolando i minori orlati di $a'=((1,1),(0,3))$ mi vengono 2 equazioni $({(y=0),(x-t=0))$
allora io l'ho risolto in questo modo, volevo sapere come prima cosa se sta fatto bene
, e in secondo luogo cosa significa nella traccia
grazie mille
traccia: $V=M_2(R)$ . si considerino i vettori $a_1=((1,0),(1,1))$ $a_2=((0,0),(1,0))$ $a_3=((3,0),(1,3))$
determinare la dimensione e una base di $w=l(a_1,a_2,a_3)$ , trovare le equazioni cartesiane per $w$ nella base canonica $B_0$ di $M_2(R)$.
io ho provato a risolverlo :
facendo la matrice dei tre vettori (in colonna) $a=((1,0,3),(0,0,0),(1,1,1),(1,0,3))$ ho calcolato il rango e mi viene $rg(a)=2$
prendendo come minore $a'=((1,1),(0,3))$
quindi la dimensione del sottospazio è 2 con la base $B={a_2,a_3}$ , per calcolare le equazioni cartesiane compongo la matrice
$c=((x,0,3),(y,0,0),(z,1,1),(t,0,3))$
calcolando i minori orlati di $a'=((1,1),(0,3))$ mi vengono 2 equazioni $({(y=0),(x-t=0))$
allora io l'ho risolto in questo modo, volevo sapere come prima cosa se sta fatto bene
, e in secondo luogo cosa significa nella traccia trovare le equazioni cartesiane per $w$ nella base canonica $B_0$ di $M_2(R)$essenzialmente non capico cosa significa
nella base canonica $B_0$ di $M_2(R)$
grazie mille
Risposte
Si l'esercizio è svolto bene. Le equazioni cartesiane che hai determinato sono le relazioni che legano le componenti di una matrice che appartiene al sottospazio $l(a_1,a_2,a_3)$ rispetto alla base canonica: $((1,0),(0,0))$, $((0,1),(0,0))$, $((0,0),(1,0))$,,$((0,0),(0,1))$.
Le matrici del sottospazio $l(a_1,a_1,a_3)$ sono tutte e solo quelle che si ottengono mettendo davanti alla base canonica relazioni che soddisfano le equazioni cartesiane trovate. Ovviamente cambia la base e cambiano anche le equazioni cartesiane.
Per esempio la matrice $((2,0),(-1,2))=2((1,0),(0,0))$$+0((0,1),(0,0))$$-1((0,0),(1,0))$$+2((0,0),(0,1))$ appartiene al sottospazio in quanto le sue componenti soddisfano le equazioni cartesiane.
Le matrici del sottospazio $l(a_1,a_1,a_3)$ sono tutte e solo quelle che si ottengono mettendo davanti alla base canonica relazioni che soddisfano le equazioni cartesiane trovate. Ovviamente cambia la base e cambiano anche le equazioni cartesiane.
Per esempio la matrice $((2,0),(-1,2))=2((1,0),(0,0))$$+0((0,1),(0,0))$$-1((0,0),(1,0))$$+2((0,0),(0,1))$ appartiene al sottospazio in quanto le sue componenti soddisfano le equazioni cartesiane.
ok grazie mille, ottima spiegazione, ora il significato delle equazioni che trovo durante l'esercizio è molto più chiara.
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