Esercizio sottospazio vettoriale
Nella mia interminabile preparazione per l'esame che dovrei affrontare la settimana prossima sto trovando spesso esercizi del tipo
Sia W = {(x, y, z) appartenente ad R3|x+y −2z = 0} contenuto in R3.
Verificare che W è un sottospazio e trovare una base e la dimensione di W.
il problema è che non so risolverli...se qualcuno può spiegarmi passo passo come fare risolvendo questo esercizio gliene sarei grato!!!
Sia W = {(x, y, z) appartenente ad R3|x+y −2z = 0} contenuto in R3.
Verificare che W è un sottospazio e trovare una base e la dimensione di W.
il problema è che non so risolverli...se qualcuno può spiegarmi passo passo come fare risolvendo questo esercizio gliene sarei grato!!!
Risposte
Nessuno sa aiutarmi????? 
evitare "up": è vietato dal regolamento.
provo comunque a risponderti, specificando però che se ci sono dei "meccanismi" per risolvere questo tipo di problemi in maniera standard, li ho dimenticati.
ti posso dire che un fatto da verificare subito è se l'origine appartiene all'insieme, ed in questo caso sì, perché mettendo (0,0,0) nell'equazione, l'uguaglianza è verificata. inoltre andando a tentativi ho trovato una cosa che contraddice quello che mi sarei aspettata: su questo spero possa fare luce qualcun altro, o anche te stesso che magari sai rispondere a questa cosa.
ti dico che mi sarei aspettata di trovare che W avesse dimensione 2, perché credo sia un piano, ed allora ho provato a trovare due vettori linearmente indipendenti e ... perbacco!, credo di averne trovati 3. senza normalizzare, propongo questa terna: {(2,2,1),(1,1,1),(3,1,2)}.
per vedere se sono indipendenti ho trovato il determinante della matrice $((2,2,1),(1,1,1),(3,1,2))$ che è uguale a 2 e pertanto diverso da zero.
se ti interessa, per trovare questi vettori ho esplicitato l'equazione rispetto a z,y,x rispettivamente, dando qualche valore a caso a due incognite e ricavandone la terza.
aspetto di vedere dov'è l'errore, se c'è. ciao.
provo comunque a risponderti, specificando però che se ci sono dei "meccanismi" per risolvere questo tipo di problemi in maniera standard, li ho dimenticati.
ti posso dire che un fatto da verificare subito è se l'origine appartiene all'insieme, ed in questo caso sì, perché mettendo (0,0,0) nell'equazione, l'uguaglianza è verificata. inoltre andando a tentativi ho trovato una cosa che contraddice quello che mi sarei aspettata: su questo spero possa fare luce qualcun altro, o anche te stesso che magari sai rispondere a questa cosa.
ti dico che mi sarei aspettata di trovare che W avesse dimensione 2, perché credo sia un piano, ed allora ho provato a trovare due vettori linearmente indipendenti e ... perbacco!, credo di averne trovati 3. senza normalizzare, propongo questa terna: {(2,2,1),(1,1,1),(3,1,2)}.
per vedere se sono indipendenti ho trovato il determinante della matrice $((2,2,1),(1,1,1),(3,1,2))$ che è uguale a 2 e pertanto diverso da zero.
se ti interessa, per trovare questi vettori ho esplicitato l'equazione rispetto a z,y,x rispettivamente, dando qualche valore a caso a due incognite e ricavandone la terza.
aspetto di vedere dov'è l'errore, se c'è. ciao.
Chiedo venia per l'up ma sono davvero preoccupato perchè tra meno di una settimana devo fare l'esame...
Dunque vediamo se ho capito:
per dimostrare che W continene il vettore nullo poniamo (x,y,z)=(0,0,0)
dimostrato ciò devo dimostrare che W è chiuso sia rispetto alla somma che al prodotto...se tutti questi punti sono veri allora W è un sottospazio
ma per trovare la base e la dimensione?
Dunque vediamo se ho capito:
per dimostrare che W continene il vettore nullo poniamo (x,y,z)=(0,0,0)
dimostrato ciò devo dimostrare che W è chiuso sia rispetto alla somma che al prodotto...se tutti questi punti sono veri allora W è un sottospazio
ma per trovare la base e la dimensione?
Ops ho risposto inseme ad ada!!!
Cmq credo di essermi ricordato una cosa...
La dimensione è 2 perchè
x+y-2z=0 ---> x=2z-y
A questo punto la X dovrebbe dipendere dalle 2 variabili Z e Y a cui pa prof (se ricordo bene) ha detto di dare valori 1 e 0 e vicerversa...
in questo modo la base dovrebbe essere
{(-1,1,0),(2,0,1)
La dimensione dovrebbe essere 2 perchè la base è costituta da 2 vettori e sono solo 2 i parametri indipendenti tra loro...
Giusto?
Se volete posto il link del forum della mia facoltà da cui ho preso le info...
Cmq credo di essermi ricordato una cosa...
La dimensione è 2 perchè
x+y-2z=0 ---> x=2z-y
A questo punto la X dovrebbe dipendere dalle 2 variabili Z e Y a cui pa prof (se ricordo bene) ha detto di dare valori 1 e 0 e vicerversa...
in questo modo la base dovrebbe essere
{(-1,1,0),(2,0,1)
La dimensione dovrebbe essere 2 perchè la base è costituta da 2 vettori e sono solo 2 i parametri indipendenti tra loro...
Giusto?
Se volete posto il link del forum della mia facoltà da cui ho preso le info...
@ Sergio
grazie della risposta.
quanto all'appartenenza del vettore nullo, è ovvio che non basta, ma è una condizione, o no?
sulla dimensione due, come ho detto, ero certa anch'io, ma come spieghi l'esistenza dei tre vettori proposti da me? non sono indipendenti? (come si fa allora a vedere che non sono indipendenti?), oppure non appartengono a W ? (in tal caso quale/i e perché?)
grazie ancora. ciao.
grazie della risposta.
quanto all'appartenenza del vettore nullo, è ovvio che non basta, ma è una condizione, o no?
sulla dimensione due, come ho detto, ero certa anch'io, ma come spieghi l'esistenza dei tre vettori proposti da me? non sono indipendenti? (come si fa allora a vedere che non sono indipendenti?), oppure non appartengono a W ? (in tal caso quale/i e perché?)
grazie ancora. ciao.
Il vettore $(2,2,1)$ non appartiene a $W$.
grazie, Tipper!
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