Esercizio sottospazio vettoriale

[Genny95]

salve a tutti volevo chiedervi di illustrarmi come si fa questo esercizio di geometria e algebra lineare poichè non riesco a risolverlo.
Nello spazio vettoriale euclideo canonico $R^3$ , sia assegnato il seguente sottospazio vettoriale:
U={(a+b, b+c. a+2b+c): a.b.c appartengo a R }
1) determina una base B1 e la dimensione di U
2) determina una rappresentazione cartesiana di U (ortogonale) e una sua base B2
3) giustificando la risposta, dire se B1 U B2 è una base di $R^3$ e in caso affermativo ortonormalizzare B1UB2
4) determinare i vettori u appartenenti U (ortogonale) con |u|=3

[anto_zoolander]

Osservato che $U$ sia uno spazio vettoriale, basta porre $a+b=x,b+c=y$ ovvero,

$U={(x,y,x+y)inRR^3:x,y inRR}$

Notiamo che $forallv inU,v=(x,y,x+y)=x(1,0,1)+y(0,1,1)$
Ovvero il sistema $S={(1,0,1),(0,1,1)}$ è un sistema di generatori di $U$ ovvero $ =U$
Inoltre $S$ è un sistema indipendente pertanto $S$ forma una base di $U$. Pertanto $dimU=2$

Ora dobbiamo trovare l’ortogonale di $U$.

Ovvero $forallv=(x,y,z) inRR^3$ se $v inU_(o r t)$ allora $(x,y,z)((1,0),(0,1),(1,1))=((x+y),(y+z))=0$

Ovvero ${(x+z=0),(y+z=0):}$ che è la sua rappresentazione cartesiana.
Dal sistema otteniamo ${(x=-z),(y=-z):}$
Ovvero che $U_(o r t)= <(-1,-1,1)>$

Notiamo che $RR^3$ è in somma ortogonale di $U$ e $U_(o r t)$ poichè il prodotto scalare è non degenere per la restrizione a $U$(ossia non ci sono vettori isotropi)$.

Da qui sai proseguire?