Esercizio sottospazio vettoriale

[bellrodo]

Sia $V$ lo spazio vettoriale delle matrici $2x2$ e sia $W$ il sottoinsieme di $V$ costituito dalle matrici $((a,b),(c,d))$ tali che $a+b+c=0$. Provare che $W$ è un sottospazio di $V$ e calcolarne la dimensione.

ALLORA:

Siano $v_1,v_2$ $in$ $W$ dove:

$v_1= $ $((a_1,b_1),(c_1,d_1))$ ; $v_2= $ $((a_2,b_2),(c_2,d_2))$ QUINDI: $v_1+v_2= $ $((a_1+a_2,b_1+b_2),(c_1+c_2,d_1+d_2))$

NE SEGUE CHE:

$(a_1+a_2)+(b_1+b_2)+(c_1+c_2)=0$ $=>$ $(a_1+b_1+c_1)+(a_2+b_2+c_2)=0$ $=>$ $0+0=0$

QUINDI HO DIMOSTRATO CHE LA MATRICE SOMMA APPARTIENE A $W$.. GIUSTO? OPPURE HO SBAGLIATO?

POI:

Sia $\lambda v_1$ $in$ $W$ CONSIDERO: $v1= $ $((a_1,b_1),(c_1,d_1))$ QUINDI: $\lambda v_1= $ $((\lambda a_1,\lambda b_1),(\lambda c_1,\lambda d_1))$

NE SEGUE CHE:

$(\lambda a_1)+(\lambda b_1)+(\lambda c_1)=0$ $=>$ $\lambda * (a_1+b_1+c_1) = 0$ $=>$ $\lambda * 0=0$

QUINDI HO DIMOSTRATO CHE IL PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UNO SCALARE APPARTIENE A $W$.. GIUSTO? OPPURE HO SBAGLIATO?

Se ho fatto bene questo procedimento, come faccio a determinare la dimensione di $W$?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Una premessa che non c'entra con il problema: è opportuno evitare le scritte in caratteri tutti maiuscoli, equivalenti al discorso urlato (art. 3.6 del regolamento).

Venendo al problema, il primo punto mi sembra corretto, ma nel secondo punto non si deve supporre, nell'ipotesi, che $lambda v_1inW$ (semmai questa è la tesi da verificare), ma che $v_1inW$ e che $lambda in RR$.

Saluti.

[bellrodo]

"alessandro8":Ciao.

Una premessa che non c'entra con il problema: è opportuno evitare le scritte in caratteri tutti maiuscoli, equivalenti al discorso urlato (art. 3.6 del regolamento).

non lo sapevo (chiedo scusa a tutti), mi sono iscritto da poco nel forum e non ho trovato il tempo di leggere il regolamento. Comunque ho scritto in maiuscolo e in grassetto solo per una maggiore comprensione del testo... Ora che lo so, la prossima volta eviterò

"alessandro8":

Venendo al problema, il primo punto mi sembra corretto, ma nel secondo punto non si deve supporre, nell'ipotesi, che $lambda v_1inW$ (semmai questa è la tesi da verificare), ma che $v_1inW$ e che $lambda in RR$.

Saluti.

Si hai ragione, è stato un errore di scrittura da parte mia. Per il resto è giusto come ho svolto l'esercizio?

E per caso sai dirmi come fare per trovare $dim (W)$? Non essendoci numeri ma solo parametri non so come comportarmi

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Non farti spaventare dal fatto che, in un esercizio, ci siano parametri al posto di numeri espliciti; i parametri altro non sono che numeri generici.

Sia $W={((a,b),(c,d))in M(2 xx 2;RR):a+b+c=0}$

Siccome $c=-a-b$, si ha

$W={((a,b),(-a-b,d))in M(2 xx 2;RR):a,b,d in RR}$

cioè

$W={a((1,0),(-1,0))+b((0,1),(-1,0))+d((0,0),(0,1))in M(2 xx 2;RR):a,b,d in RR}$

quindi

$W=mathcalL{((1,0),(-1,0)),((0,1),(-1,0)),((0,0),(0,1))}$

In questo caso le tre matrici sono linearmente indipendenti, quindi $dimW=3$ e le stesse tre matrici costituiscono una base di $W$.

Saluti.

[bellrodo]

grazie grazie grazie!!!

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Impadronisciti di questa tecnica, è molto ricorrente.

Saluti.