Esercizio sottospazio vettoriale

[francescoric92]

Sia V lo spazio vettoriale delle matrici reali 2X3 e siano

U = Lin ( ($((0,0,0),(0,1,0))$ $((0,0,0),(0,0,1))$ )


W ={ $((a-b,b,-a),(0,c,c))$ a,b,c $in$ R }

1)dimostrare che W è un sottospazio vettoriale di V
2)calcolare la dimensione e determinare una base di W
3)calcolare la dimensione e determinare una base di U intersezione W.


Come faccio per risolverlo?mi potreste spiegare i vari passaggi anche con i calcoli?
Grazie mille per il vostro tempo

[iDesmond]

Per il primo punto devi semplicemente applicare le definizioni, no? Qual è la definizione di sottospazio vettoriale?

[francescoric92]

Possiamo dire che dato V uno spazio vettoriale su K il sottoinsieme S è incluso in V se è dotato delle operazioni di somma tra vettori e prodotto di un vettore per uno scalare,quindi soddisfa le proprietà dello spazio vettoriale...il mio problema è come impostare il problema,cioè devo prendere i vettori colonna o i vettori riga???

[francescoric92]

ripensandoci...per trovare il sottospazio abbiamo bisogno del sistema omogeneo,allora ho pensato che prendendo come parametro c mi trovo anche a e b.Così ho fatto il sistema di equazioni:a-b=0 , b+c=0 e -a+c=0 da cui a=-b b=-c c=c
e quindi un vettore è (1 -1 1)...sicuramente avrò sbagliato,ma nn so come iniziare...

[iDesmond]

I tuoi elementi (che chiami vettori) in questo caso sono matrici. Dunque devi sommare e moltiplicare matrici, non vettori.

[francescoric92]

Me lo potresti gentilmente risolvere?non riesco a capire proprio come iniziare,cioè,come faccio a ricavare una matrice da W???

[iDesmond]

Siano $((a_1-b_1,b_1,-a_1),(0,c_1,c_1))$ e $((a_2-b_2,b_2,-a_2),(0,c_2,c_2))$

Fai la somma
$((a_1-b_1,b_1,-a_1),(0,c_1,c_1)) + ((a_2-b_2,b_2,-a_2),(0,c_2,c_2))$ = $((a_1 + a_2 - b_1 - b_2 ,b_1+b_2,-a_1-a_2),(0,c_1+c_2,c_1+c_2))$

Osservi che i coefficienti del risultato appartengono ancora a $RR$ (è ovvio) e che la matrice può essere scritta nella forma:

$((a-b,b,-a),(0,c,c))$ con $a=a_1+a_2$, $b=b_1+b_2$ ecc, ok?

[francescoric92]

Ah quindi se ho ben capito,basta dimostrare solo teoricamente se è un sottospazio o meno...invece per trovare le basi come devo procedere?cioè quale matrice di U devo considerare?e come faccio a ricavarmi i numeri da W?

[iDesmond]

Per trovare le basi dello spazio prendi un elemento generico del tuo spazio, in questo caso: $((a-b,b,-a),(0,c,c))$

e devi trovare due elementi (non generici, "con i numeri e non con le lettere" per capirci) che moltiplicati opportunamente per dei coefficienti reali (che saranno $a$, $b$ e $c$ in questo caso) danno il tuo elemento generico. Così hai dimostrato che ogni elemento di $W$ può essere espresso come combinazione lineare dei tuoi vettori non generici... per dimostrare che sono una base devi solo dimostrare che sono linearmente indipendenti.

Dunque, per esempio: $((a-b,b,-a),(0,c,c)) = a*((1,0,-1),(0,0,0)) + b*((-,-,-),(-,-,-)) + ...$ ce la fai a finire?

[francescoric92]

sisi,adesso ho capito...grazie tante