Esercizio sottospazio generato urgente

[antony_88]

ciao a tutti vi posto quest esercizio:

Dati i sistemi di vettori S = {(1, 2, 1, 0), (−1, 0, 1, 2), (3, 1, 0, 0)} e T = {(2,−1,−1, 0),
(2, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 1)} dello spazio vettoriale R4, dire se L(T) è contenuto in L(S) e perchè

spero che mi possiate aiutare(ps: domani ho l'esame)

ciao a tutti

[process_killer-votailprof]

dovresti trovare le eq. cartesiane di S e verificare che se i vettori base di T li "rispettano" in questo caso L(T) è contenuto in L(S)

credo si faccia così aspetterei però conferme da altri, ciao

[dissonance]

Se $L(T)\subL(S)$, sicuramente $T\subL(S)$. Vale anche il viceversa però: se $T\subL(S)$ allora ogni comb.lineare di vettori di $T$ (quindi ogni vettore di $L(T)$) è anche combinazione lineare di vettori di $L(S)$ e perciò $L(T)\subL(S)$.
Quindi devi verificare che ogni vettore di $T$ è lin. dip. dai vettori di $S$.

Un modo è quello che ti ha detto process_killer, sennò puoi usare il determinante: ti costruisci una matrice con le prime tre righe di vettori di S e l'ultima con un vettore di T, calcoli il determinante, se è nullo quel vettore di T dipende linearmente dai vettori di S.
Scegli tu il modo più comodo. ciao

[vict85]

"antony_88":ciao a tutti vi posto quest esercizio:

Dati i sistemi di vettori S = {(1, 2, 1, 0), (−1, 0, 1, 2), (3, 1, 0, 0)} e T = {(2,−1,−1, 0),
(2, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 1)} dello spazio vettoriale R4, dire se L(T) è contenuto in L(S) e perchè

spero che mi possiate aiutare(ps: domani ho l'esame)

ciao a tutti

$\bb{v}_1 = (1, 2, 1, 0)$
$\bb{v}_2 = (-1, 0, 1, 2)$
$\bb{v}_3 = (3, 1, 0, 0)$

$\bb{w}_1 = (2, -1, -1, 0)$
$\bb{w}_2 = (2, 1, 1, 2)$
$\bb{w}_3 = (0, 1, 1, 1)$

I vettori $\bb{w}_1,\ \bb{w}_2,\ \bb{w}_3$ possono essere espressi come combinazione lineare degli altri 3:

$\bb{w}_1 = -\bb{v}_1 + \bb{v}_3$
$\bb{w}_2 = \bb{v}_2 + \bb{v}_3$
$\bb{w}_3 = 1/2\bb{v}_1 + 1/2\bb{v}_2$

Quindi preso un vettore $\bb{r} in L(T)$ $\bb{r} = lambda_1\bb{w}_1 + lambda_2\bb{w}_2 + lambda_3\bb{w}_3 = lambda_1(-\bb{v}_1 + \bb{v}_3) + lambda_2(\bb{v}_2 + \bb{v}_3) + lambda_3(1/2\bb{v}_1 + 1/2\bb{v}_2) = (1/2lambda_3 - lambda_1)\bb{v}_1 + (lambda_2 + 1/2lambda_3)\bb{v}_2 + (lambda_1 + lambda_2)\bb{v}_3 in L(S)$