Esercizio Sottospazio

[Makko88]

Mi è capitato questo esercizio, che ho svolto in un modo ma credo che non si trovi hehe

L'esercizio è questo:

Si consideri il sistema

$ S $ $ {( 1, -1, 0, 1 );(2, 1, 1, 3); (6, 0, 2, 8)} $ $ { ( 1, -1, 0, 1 );(2, 1, 1, 3); (6, 0, 2, 8) } $

e il sottospazio $ U=L(S). $

Si determini la $ dim U $ e una $ Bu. $

Chi mi dà una mano, per piacere?

Io ho pensato che poichè del sottospazio non conosciamo i vettori, dovremmo vedere se il sottospazio U è uguale o diverso dallo spazio S, giusto?

Inoltre, ho pensato che si debba operare cosi:

$ L(S)= $ $ { α ( 1, -1, 0, 1 ) + β (2, 1, 1, 3) + γ (6, 0, 2, 8) | α, β, γ ∈ RR } $

$ L(S)= $ $ { ( α, -α, α ) + ( 2β, β, β, 3β) + ( 6γ, 2γ, 8γ) } $

$ L(S)= $ $ { ( α+ 2β+ 6γ), β, ( -α + β + 2γ), ( α, 3β, 8γ) } $

Secondo voi è corretto?

Aspetto vostre notizie, e grazie in anticipo

[Seneca1]

Sarà colpa mia, ma non ho capito un granché della consegna.

[weblan]

"Makko88":Mi è capitato questo esercizio, che ho svolto in un modo ma credo che non si trovi hehe

L'esercizio è questo:

Si consideri il sistema

$ S $ $ {( 1, -1, 0, 1 );(2, 1, 1, 3); (6, 0, 2, 8)} $ $ { ( 1, -1, 0, 1 );(2, 1, 1, 3); (6, 0, 2, 8) } $

e il sottospazio $ U=L(S). $

Si determini la $ dim U $ e una $ Bu. $

Chi mi dà una mano, per piacere?

Io ho pensato che poichè del sottospazio non conosciamo i vettori, dovremmo vedere se il sottospazio U è uguale o diverso dallo spazio S, giusto?

Inoltre, ho pensato che si debba operare cosi:

$ L(S)= $ $ { α ( 1, -1, 0, 1 ) + β (2, 1, 1, 3) + γ (6, 0, 2, 8) | α, β, γ ∈ RR } $

$ L(S)= $ $ { ( α, -α, α ) + ( 2β, β, β, 3β) + ( 6γ, 2γ, 8γ) } $

$ L(S)= $ $ { ( α+ 2β+ 6γ), β, ( -α + β + 2γ), ( α, 3β, 8γ) } $

Secondo voi è corretto?

Aspetto vostre notizie, e grazie in anticipo

Un pochino ha ragione Seneca quando dice che si fa fatica a comprendere la richiesta. Vediamo di riordinare il tutto:

Sia assegnato il sistema di vettori $S= {( 1, -1, 0, 1 );(2, 1, 1, 3); (6, 0, 2, 8)} $. Indicato con $U=L(S)$, si determini una base e la dimensione di del sottospazio $U$.

Le combinazioni lineari dei vettori del sistema $S$ evidenziano degli errori, non tanto nell'impostazione per determinare il sottospazio generato dal sistema $S$ (cosa poi non richiesta), quanto nel procedimento per moltiplicare le quaterne e poi sommarle.
Già al secondo passaggio si trova la terna $(\alpha,-\alpha,\alpha)$ e $(6\gamma,2\gamma,8\gamma)$, ovviamente moltiplicando quelle quaterne per gli scalari $\alpha$ e $\gamma$ hai pensato trovando lo $0$ di eliminare la componente. Questo è un errore!!! Invece, per esempio, $\alpha(2,0,0-3)=(2\alpha,0,0-3\alpha)$. Veniamo allo svolgimento dell'esercizio.

1) Devi determinare una base di $U$, per ottenere questo obiettivo devi "togliere" dal sistema $S$, ammesso che ci siano, i vettori che dipendono dai restanti. Ci sono dei metodi per farlo, ti assicuro che in questo caso lo puoi fare facilmente anche facendo considerazioni a vista.

2) Una volta ripulito il sistema $S$, quello che ti resta sarà una base di $U$ e il numero di vettori esprime la dimensione di $U$.

[Makko88]

Mi spiace se non sono stato chiaro. Insomma da quel che mi avete detto il modo di operare che ho illustrato non è sbagliato, o non ho capito cosa intendevate?

Qualche delucidazione in più potrei averla? grazie

EDIT. Io in realtà questo esercizio l'avevo svolto diversamente, ma credo fosse sbagliato, se volete vi scrivo il modo in cui l'ho svolto la prima volta

[weblan]

Credo di aver dato una risposta e delle indicazione su come procedere.

In particolare ti faccio notare che sbagli a fare i calcoli in questa combinazione e per il motivo che ti ho segnalato nel precedente post.

$ L(S)= $ $ { ( α, -α, α ) + ( 2β, β, β, 3β) + ( 6γ, 2γ, 8γ) } $

$ L(S)= $ $ { ( α+ 2β+ 6γ), β, ( -α + β + 2γ), ( α, 3β, 8γ) } $

Se vuoi fai le tue richieste e noi saremo disponibili ad aiutarti.

[Makko88]

Insomma il calcolo giusto sarebbe:

Insomma il calcolo giusto sarebbe $ L(S) { ( α, -α, 0, α ) + ( 2β, β, β, 3β) + ( 6γ, 0, 2γ, 8γ) } $ giusto?

In questo modo devo comunque effettuare l'addizione? O passo direttamente al calcolo della base della dimensione U? Mettendo il tutto sottoforma di matrice e calcolandone il rango?

[weblan]

Ho l'impressione che tu non voglia seguire i consigli che ti ho dato nei seguenti punti:

1) Devi determinare una base di $U$, per ottenere questo obiettivo devi "togliere" dal sistema $S$, ammesso che ci siano, i vettori che dipendono dai restanti. Ci sono dei metodi per farlo, ti assicuro che in questo caso lo puoi fare facilmente anche facendo considerazioni a vista.

2) Una volta ripulito il sistema $S$, quello che ti resta sarà una base di $U$ e il numero di vettori esprime la dimensione di $U$.

Ora ti faccio vedere come si svolge l'esercizio:

Nel sistema $S={(1,-1,0,1),(2,1,1,3),(6,0,2,8)}$, puoi facilmente osservare che il terzo vettore $(6,0,2,8)=2(1,-1,0,1)+2(2,1,1,3)$, questo vuol dire che lo spazio generato dal sistema $S$ coincide con lo spazio generato dal sistema $T={(1,-1,0,1),(2,1,1,3)}$. Ora quest'ultimo sistema è indipendente perchè costituito da $2$ vettori non proporzionali. Esso è una base per $U$ che risulta avere dimensione $2$.

Se vuoi determinare, in aggiunta, l'equazione cartesiana del sottospazio si può proseguire come stavi già sviluppando i calcoli oppure ci sono altri modi per farlo.

E' importante aver ripulito il sistema e averlo ridotto ad un sistema indipendente. Questa operazione ti consiglio di farla sempre all'inizio, eviterai calcoli con inutili variabili aggiuntive. Ovvio che in questo caso le cose sono semplificate perchè nel sistema figuravano solo tre vettori, nei casi meno evidenti utilizzerai le matrici per determinare un sistema indipendente di generatori del sottospazio.

$U={\alpha(1,-1,0,1)+\beta(2,1,1,3)$| $\alpha,\betainRR}$=........

[Makko88]

Devo allora dirti un grazie enorme, perchè hai dissipato tutti i miei dubbi

Praticamente mi hai confermato che il modo in cui avevo svolto precedentemente l'esercizio era corretta!!

Infatti mi trovo sia con il risultato della dimensione di U, che in questo caso come hai detto tu è 2, e sia per quanto riguarda la base di U

grazie ancora mille credevo di aver sbagliato tutto e invece ho svolto correttamente l'esercizio fin dall'inizio hehe grazie ancora mille