Esercizio sottospazi vettoriali di polinomi
Salve a tutti, qualcuno potrebbe darmi una mano con il seguente esercizio sui sottospazi vettoriali?
il testo dice:
Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di \(\displaystyle \mathbb{R}_{[t]}\)
\(\displaystyle \{\mathcal{P}(\mathcal{t^2}) ; \mathcal{P}(\mathcal{t})\in \mathbb{R}_{[t]}\};\\
\{\mathcal{P}(\mathcal{t})^2 ; \mathcal{P}(\mathcal{t})\in \mathbb{R}_{[t]}\}.\)
Non so da dove cominciare!
Grazie!!!
il testo dice:
Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di \(\displaystyle \mathbb{R}_{[t]}\)
\(\displaystyle \{\mathcal{P}(\mathcal{t^2}) ; \mathcal{P}(\mathcal{t})\in \mathbb{R}_{[t]}\};\\
\{\mathcal{P}(\mathcal{t})^2 ; \mathcal{P}(\mathcal{t})\in \mathbb{R}_{[t]}\}.\)
Non so da dove cominciare!
Grazie!!!
Risposte
La tua notazione non è molto standard e non capisco che insiemi stai considerando. Su \(\displaystyle \mathbb{R}_{[t]} \) immagino tu intenda ciò che è usualmente segnato con \(\displaystyle \mathbb{R}[t] \) cioè lo spazio vettoriale dei polinomi in una variabile (segnata con \(\displaystyle t \)).
Su \(\displaystyle \mathcal{P} \) non ne ho invece idea.
Su \(\displaystyle \mathcal{P} \) non ne ho invece idea.
sì vict85, ho sbagliato a scrivere con il latex, intendevo \(\displaystyle \mathbb{R}[t] \) ! comunque il testo ora lo linko dalla sua fonte originale: http://www1.mat.uniroma1.it/~desole/did ... cizi-2.pdf
si tratta dell'esercizio numero 1.5 e 1.6
si tratta dell'esercizio numero 1.5 e 1.6
Ok, ho capito. Intende un elemento generico di \(\displaystyle \mathbb{R}[t] \). Lo script mi aveva confuso.
In sostanza il primo insieme è \(\displaystyle \mathbb{R}[t^2] \) (ogni elemento è del tipo \(\displaystyle \sum_{i=0}^m c_i t^{2i} \)) mentre il secondo è l'insieme dei polinomi che sono il quadrato di un altro.
Il primo lo è, mentre il secondo non lo è.
Per quanto riguarda il primo ti basta controllare i vari punti della definizione. Per quanto riguarda il secondo ti invito a notare che \(\displaystyle t^{2k+1} = \frac12 (t^{2k} - t)^2 - \frac12 (t^{2k})^2 - \frac12 t^2 \) (se non ho fatto errori di calcolo).
In sostanza il primo insieme è \(\displaystyle \mathbb{R}[t^2] \) (ogni elemento è del tipo \(\displaystyle \sum_{i=0}^m c_i t^{2i} \)) mentre il secondo è l'insieme dei polinomi che sono il quadrato di un altro.
Il primo lo è, mentre il secondo non lo è.
Per quanto riguarda il primo ti basta controllare i vari punti della definizione. Per quanto riguarda il secondo ti invito a notare che \(\displaystyle t^{2k+1} = \frac12 (t^{2k} - t)^2 - \frac12 (t^{2k})^2 - \frac12 t^2 \) (se non ho fatto errori di calcolo).
Dunque, se ho ben capito, il primo è un sottospazio perché verifica le condizioni di sottospazio vettoriale. Infatti
\(\displaystyle \sum_{i=0}^m \alpha_i t^{2i} + \sum_{i=0}^n \beta_i t^{2i} = (\alpha+\alpha_1t^2+...+\alpha_mt^{2m})+(\beta+\beta_1t^2+...+\beta_nt^{2n}) = (\alpha+\beta)+(\alpha_1+\beta_1)t^2+...+\alpha_mt^{2m}+...+\beta_nt^{2n}\)
è sempre un elemento dell'insieme di partenza (naturalmente in questo caso supposto \(\displaystyle n>m \), altrimenti bastava invertire l'ordine degli ultimi due addendi se \(\displaystyle m>n \) o raccogliere a fattor comune se \(\displaystyle m=n \), giusto? ). Lo stesso si può fare per il prodotto per scalari e quindi l'insieme è un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}[t] \) in quanto è chiuso rispetto alle due operazioni.
Per il secondo invece? Non capisco cosa vuoi dire con l'ultima uguaglianza.
\(\displaystyle \sum_{i=0}^m \alpha_i t^{2i} + \sum_{i=0}^n \beta_i t^{2i} = (\alpha+\alpha_1t^2+...+\alpha_mt^{2m})+(\beta+\beta_1t^2+...+\beta_nt^{2n}) = (\alpha+\beta)+(\alpha_1+\beta_1)t^2+...+\alpha_mt^{2m}+...+\beta_nt^{2n}\)
è sempre un elemento dell'insieme di partenza (naturalmente in questo caso supposto \(\displaystyle n>m \), altrimenti bastava invertire l'ordine degli ultimi due addendi se \(\displaystyle m>n \) o raccogliere a fattor comune se \(\displaystyle m=n \), giusto? ). Lo stesso si può fare per il prodotto per scalari e quindi l'insieme è un sottospazio di \(\displaystyle \mathbb{R}[t] \) in quanto è chiuso rispetto alle due operazioni.
Per il secondo invece? Non capisco cosa vuoi dire con l'ultima uguaglianza.
Lo spazio lineare generato dai quadrati dei polinomi coincide con tutto \(\mathbb{R}[t]\) ma non tutti i polinomi sono il quadrato di altri polinomi.
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