Esercizio sistemi lineari

[paoolo10]

si consideri l'equazione matriciale Atx=bs, dove
t 2 -1
0 -1 2t e bs=(4,s,1,0)
At= 0 1 0
-t 0 3

a per quali t e s l'equazione ha soluzioni? per quali di tali t e s vi è un unica soluzione?

io ho per quali valori di t il determinante di at diventa 0 quindi il rango non sarà piu massimo ma minore
e viene per t =0 ho la matrice
0 2 -1
0 -1 0
at= 0 1 0 quindi rango 2 e per avere solozioni anche Atx=bs deveavere rango 2 corretto?
0 0 3

ma come faccio a trovare s??
grazie in anticipo:)

[paoolo10]

at=$((t,2,-1),(0,-1,2t),(0,1,0),(-t,0,3))$


A t=0 $((0,2,-1),(0,-1,2t),(0,1,0),(0,0,3))$

[paoolo10]

scusate ancora A t=0 $((0,2,-1),(0,-1,0),(0,1,0),(0,0,3))$

[vict85]

"paoolo10":scusate ancora A t=0 $((0,2,-1),(0,-1,0),(0,1,0),(0,0,3))$

A parte che ci sono dei limiti al continuare a riscrivere la stessa cosa... Evidenzierei che ancora la tua scrittura ha poco senso.

Ora $A$ è una matrice e immagino che

$ A(t) = ( ( t , 2 , -1 ),( 0 , -1 , 2t ),( 0 , 1 , 0 ),( -t , 0 , 3 ) )$

Quella che hai scritto tu andava scritta con la notazione

$ A(0) = ( ( 0, 2 , -1 ),( 0 , -1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 3 ) )$

esattamente come per le funzioni. La tua è poco chiara e non particolarmente bella.

Quello che tu ti stai chiedendo è quindi quante soluzioni ha \(\displaystyle A(t)\mathbf{x} = \mathbf{b}(s) \) cioé

$( ( t , 2 , -1 ),( 0 , -1 , 2t ),( 0 , 1 , 0 ),( -t , 0 , 3 ) )((x),(y),(z)) = ((4),(s),(1),(0))$

In ogni caso devi trovare il rango al variare di $t$ e $s$ e non sono in $t=0$. Questo significa che devi lavorare con la matrice parametrica.

[paoolo10]

ok ho sbagliato a scrivere la matrice cmq per calcolare il rango posso vedere quando il determinante si annulla giusto??quindi per t=0 non ho piu rango 3 ma due??ora per controllare con s coma faccio?qualcuno sa darmi una risposta grazie

[vict85]

"paoolo10":ok ho sbagliato a scrivere la matrice cmq per calcolare il rango posso vedere quando il determinante si annulla giusto??quindi per t=0 non ho piu rango 3 ma due??ora per controllare con s coma faccio?qualcuno sa darmi una risposta grazie

NO. Non devi imporre $t=0$. Devi trovare il rango come condizione su $t$ e $s$. In pratica lavora come se lavorassi con costanti e tieni conto delle divisioni per 0.

[paoolo10]

puoi spiegarmi come lo calcoleresti tu???perchè io lo calcolo con il determinante...??

[vict85]

Di un matrice 4x3? Comunque un metodo vale l'altro.

Per esempio se $A = ((1,1-t),(s,s+t+4))$ allora \(\displaystyle \det{A} = s+t+4-s+st = t(1+s)+4\).