[Esercizio] Sistema lineare parametrico

[FrancescoS8]

Buongiorno a tutti,
avrei da esporvi un dubbio su un esercizio riguardante un sistema lineare parametrico.
L'esercizio chiede, dato il seguente sistema lineare
[tex]\begin{cases}
x-2ky+z=0\\x+4y+z=0\\-ky+kz=k+2
\end{cases}[/tex]
per quali valori di \(\displaystyle k \) risulta risolvibile e, in caso affermativo, quante soluzioni ammette.

Io ho impostato la matrice \(\displaystyle (A|b) \)
[tex](A|b) = \begin{bmatrix}
1 & -2k & 1 & 0\\ 1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & -k & k & k+2
\end{bmatrix}[/tex]

e l'ho ridotta a scala
[tex](A|b)_r = \begin{bmatrix}
1 & -2k & 1 & 0\\ 0 & 4-2k & 0 & 0\\ 0 & 0 & k & k+2
\end{bmatrix}[/tex]

Bene, io ora ho tirato fuori questi ragionamenti.
- Per \(\displaystyle k=0 \) il rango della matrice completa e incompleta mi diventa diverso quindi è incompatibile.
- Per \(\displaystyle k=2 \) invece il rango della matrice mi diventa 1 e quindi ho \(\displaystyle \infty^2 \) soluzioni.
- Per tutti gli altri valori di \(\displaystyle k \) invece ho esattamente 1 soluzione e una soltanto.

E' corretto come ragionamento? I miei compagni di studio sostengono di no

Grazie a tutti in anticipo

[@melia]

Non ho capito come hai ottenuto il termine $a_(3,2)$ della matrice ridotta a scala, credo che abbia fatto un errore di calcolo o abbia perso una condizione.

Io ho risolto il problema calcolando il determinante di $|A|$ che viene $|A|= 4k+2k^2$ che si annulla per $k=0$ e $k= -2$,

per tutti i $k$ diversi da 0 e da -2, il rango della matrice completa e quello dell'incompleta coincidono, quindi una e una sola soluzione;

per $k=0$ il rango dell'incompleta è 2, quello della completa 3, quindi sistema incompatibile;

per $k= -2$ sostituendo nella matrice $(A|b)$ si ottiene che entrambe le matrici hanno rango 2, quindi hai $oo^1$ soluzioni.

[piergiorgiof1]

"FrancescoS8":

e l'ho ridotta a scala
[tex](A|b)_r = \begin{bmatrix}
1 & -2k & 1 & 0\\ 0 & 4-2k & 0 & 0\\ 0 & 0 & k & k+2
\end{bmatrix}[/tex]

Bene, io ora ho tirato fuori questi ragionamenti.
- Per \(\displaystyle k=0 \) il rango della matrice completa e incompleta mi diventa diverso quindi è incompatibile.
- Per \(\displaystyle k=2 \) invece il rango della matrice mi diventa 1 e quindi ho \(\displaystyle \infty^2 \) soluzioni.
- Per tutti gli altri valori di \(\displaystyle k \) invece ho esattamente 1 soluzione e una soltanto.

E' corretto come ragionamento? I miei compagni di studio sostengono di no

Grazie a tutti in anticipo

Sono sbagliati i calcoli nella riduzione a gradini, da:

[tex](A|b) = \begin{bmatrix}
1 & -2k & 1 & 0\\ 1 & 4 & 1 & 0\\ 0 & -k & k & k+2
\end{bmatrix}[/tex]

se fai R2-> R2-R1 ottieni

[tex](A|b)_r = \begin{bmatrix}
1 & -2k & 1 & 0\\ 0 & 4+2k & 0 & 0\\ 0 & -k & k & k+2
\end{bmatrix}[/tex]

poi scambi R3 con R2

[tex](A|b)_r = \begin{bmatrix}
1 & -2k & 1 & 0\\ 0 & -k & k & k+2\\ 0 & 4+2k & 0 & 0
\end{bmatrix}[/tex]

e ottieni l'elemento speciale per ogni riga (a11 per la prima riga e a23 e a43 per la seconda, ovviamente ne bastava anche uno).

Quindi solo per $k=-2$ e per $k=0$ hai rango 2 per l'incompleta (e quindi infinito elevato 1 soluzioni). Ma per $k=0$ puoi vedere che il rango della completa è 3 e quindi il sistema è incompatibile per il teorema di Rouchè-Capelli (solo per questo valore di k).

Per ogni altro valore di K ottieni una sola soluzione che puoi calcolare ad esempio col metodo di Cramer

[FrancescoS8]

Vi ringrazio entrambi, in effetti non mi ero accorto di aver fatto quell'errore
Esercizio risolto!