Esercizio sistema lineare con tre parametri

[topojo]

salve a tutti, avrei un problema nella risoluzione di questo sistema a tre equazioni ed incognite:

2x-y+3z=a
3x+y-5z=b
-5x-5y+21z=c

mi viene chiesto di determinare i valori dei tre paramtri per cui il sistema ammette almeno una soluzione..ho provato con rouche capelli ma non ne vengo molto a capo..

[Gi81]

${(2x-y+3z=a),(3x+y-5z=b),(-5x-5y+21z=c):}$ la matrice incompleta è $((2,-1,3),(3,1,-5),(-5,-5,21))$ ed ha rango $2$.
Quindi devi scegliere $a,b,c$ in modo tale che anche la matrice completa $((2,-1,3,a),(3,1,-5,b),(-5,-5,21,c))$ abbia rango $2$

[topojo]

sì è lì che non riesco a girarmi perchè con una sottomatrice di rango 2 mi porta inevitabilmente ad escludere un parametro tra a,b o c...o no?grazie per la pazienza

[Gi81]

Non proprio. Il rango della matrice completa è almeno 2
(in quanto,ad esempio, il minore $((2,-1),(3,1))$ ha determinante non nullo). Noi vogliamo che sia proprio 2.
Quindi bisogna imporre che tutte le sottomatrici 3x3 abbiano determinante nullo.
Tali sottomatrici sono 4:
1) $((2,-1,3),(3,1,-5),(-5,-5,21))$ $~ ~ ~$ $~ ~ ~$ $~ ~ ~$ 2) $((2,-1,a),(3,1,b),(-5,-5,c))$


3) $((2,3,a),(3,-5,b),(-5,21,c))$ $~ ~ ~$ $~ ~ ~$ $~ ~ ~$ 4) $((-1,3,a),(1,-5,b),(-5,21,c))$

Ora, la 1) ha certamente determinante nullo (l'abbiamo visto prima).
Le altre 3 avranno determinante dipendente da $a$, $b$ e $c$. A te i calcoli

[topojo]

ottimo grazie!